ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 241 Алимов — Подробные Ответы

1)

$$\begin{cases} 4^x \cdot 2^y = 32 \\ 3^{8x+1} = 3^{3y} \end{cases};$$

Первое уравнение:

$$4^x \cdot 2^y = 32;$$ $$2^{2x} \cdot 2^y = 2^5;$$ $$2^{2x+y} = 2^5;$$ $$2x + y = 5;$$ $$y = 5 — 2x;$$

Второе уравнение:

$$3^{8x+1} = 3^{3(5-2x)};$$ $$8x + 1 = 3(5 — 2x);$$ $$8x + 1 = 15 — 6x;$$ $$14x = 14, \text{отсюда } x = 1;$$ $$y = 5 — 2 \cdot 1 = 5 — 2 = 3;$$

Ответ: $(1; 3)$.

2)

$$\begin{cases} 3^{3x-2y} = 81 \\ 3^{6x} \cdot 3^y = 27 \end{cases};$$

Второе уравнение:

$$3^{6x} \cdot 3^y = 27;$$ $$3^{6x+y} = 3^3;$$ $$6x + y = 3;$$ $$y = 3 — 6x;$$

Первое уравнение:

$$3^{3x-2(3-6x)} = 81;$$ $$3^{3x-6+12x} = 3^4;$$ $$3^{15x-6} = 3^4;$$ $$15x — 6 = 4;$$ $$15x = 10, \text{отсюда } x = \frac{10}{15} = \frac{2}{3};$$ $$y = 3 — 6 \cdot \frac{2}{3} = 3 — 4 = -1;$$

Ответ: $\left(\frac{2}{3}; -1\right)$.

1)

Система уравнений:

$$\begin{cases} 4^x \cdot 2^y = 32 \\ 3^{8x+1} = 3^{3y} \end{cases}$$

Решим первое уравнение:

$$4^x \cdot 2^y = 32$$

Заметим, что $4 = 2^2$, а $32 = 2^5$. Тогда:

$$(2^2)^x \cdot 2^y = 2^5$$ $$2^{2x} \cdot 2^y = 2^5$$

Теперь, используя свойство степени с одинаковым основанием (при умножении показатели складываются):

$$2^{2x + y} = 2^5 \Rightarrow 2x + y = 5$$

Выразим $y$ через $x$:

$$y = 5 — 2x$$

Решим второе уравнение:

$$3^{8x + 1} = 3^{3y}$$

Так как основания одинаковы, сравним показатели:

$$8x + 1 = 3y$$

Теперь подставим выражение для $y$, полученное ранее:

$$8x + 1 = 3(5 — 2x)$$ $$8x + 1 = 15 — 6x$$

Переносим все в одну сторону:

$$8x + 6x = 15 — 1 \Rightarrow 14x = 14 \Rightarrow x = 1$$

Теперь найдём $y$:

$$y = 5 — 2 \cdot 1 = 3$$

Ответ к первому пункту:

$$\boxed{(1;\ 3)}$$

2)

Система уравнений:

$$\begin{cases} 3^{3x — 2y} = 81 \\ 3^{6x} \cdot 3^y = 27 \end{cases}$$

Решим второе уравнение:

$$3^{6x} \cdot 3^y = 27$$

Представим 27 как степень тройки: $27 = 3^3$, тогда:

$$3^{6x + y} = 3^3 \Rightarrow 6x + y = 3$$

Выразим $y$ через $x$:

$$y = 3 — 6x$$

Решим первое уравнение:

$$3^{3x — 2y} = 81$$

Аналогично: $81 = 3^4$, тогда:

$$3^{3x — 2y} = 3^4 \Rightarrow 3x — 2y = 4$$

Подставим выражение для $y$:

$$3x — 2(3 — 6x) = 4 \Rightarrow 3x — 6 + 12x = 4 \Rightarrow 15x — 6 = 4 \Rightarrow 15x = 10 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$$

Теперь найдём $y$:

$$y = 3 — 6 \cdot \frac{2}{3} = 3 — 4 = -1$$

Ответ ко второму пункту:

$$\boxed{\left(\frac{2}{3};\ -1\right)}$$