ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 644 Алимов — Подробные Ответы

1. 4|cosx|+3=4sin2x;
2. |tgx| +1=1/cos^2x.

Задача 1:

$4 \cdot |\cos x| + 3 = 4 \sin^2 x;$

Преобразуем уравнение:

$$4 \cdot |\cos x| + 3 — 4(1 — \cos^2 x) = 0;$$ $$4 \cdot |\cos x| + 3 — 4 + 4 \cos^2 x = 0;$$ $$4 \cos^2 x + 4 \cdot |\cos x| — 1 = 0;$$

Пусть $y = \cos x$, тогда:

$$4y^2 + 4|y| — 1 = 0;$$ $$4y^2 \pm 4y — 1 = 0;$$

Вычисляем дискриминант $D$:

$$D = 4^2 + 4 \cdot 4 = 16 + 16 = 32;$$ $$y = \frac{\pm 4 \pm 4\sqrt{2}}{2 \cdot 4} = \frac{\pm 4 \pm 4\sqrt{2}}{8} = \frac{\pm 1 \pm \sqrt{2}}{2};$$

Значения $y$ на отрезке $[-1; 1]$:

$$y_1 = \frac{-1 + \sqrt{2}}{2} \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{1 — \sqrt{2}}{2};$$ $$y_2 = -y_1;$$

Значения переменной $x$:

$$\cos x = \pm \left( \frac{1 — \sqrt{2}}{2} \right);$$ $$x_1 = \pm \arccos \frac{1 — \sqrt{2}}{2} + 2\pi n;$$ $$x_2 = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1 — \sqrt{2}}{2} \right) + 2\pi n;$$

Ответ:

$$\pm \arccos \frac{1 — \sqrt{2}}{2} + \pi n.$$

Задача 2:

$|tg x| + 1 = \frac{1}{\cos^2 x};$

Преобразуем уравнение:

$$|tg x| = \frac{1}{\cos^2 x} — 1;$$ $$|tg x| = tg^2 x;$$

Пусть $y = tg x$, тогда:

$$|y| = y^2;$$ $$y^2 \pm y = 0;$$ $$y \cdot (y \pm 1) = 0;$$ $$y_1 = \pm 1 \quad \text{и} \quad y_2 = 0;$$

Первое уравнение:

$$tg x = \pm 1;$$ $$x = \pm \arctg 1 + \pi n = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$tg x = 0;$$ $$x = \arctg 0 + \pi n = \pi n;$$

Ответ:

$$\pi n, \quad \pm \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

Задача 1:

$4 \cdot |\cos x| + 3 = 4 \sin^2 x;$

Шаг 1: Преобразуем уравнение

Мы начинаем с данного уравнения:

$$4 \cdot |\cos x| + 3 = 4 \sin^2 x.$$

Используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 x = 1 — \cos^2 x.$$

Подставляем это в исходное уравнение:

$$4 \cdot |\cos x| + 3 = 4(1 — \cos^2 x).$$

Раскрываем скобки:

$$4 \cdot |\cos x| + 3 = 4 — 4 \cos^2 x.$$

Теперь переносим все в одну сторону:

$$4 \cdot |\cos x| + 3 — 4 + 4 \cos^2 x = 0.$$

Упростим:

$$4 \cos^2 x + 4 \cdot |\cos x| — 1 = 0.$$

Получили квадратное уравнение с абсолютной величиной.

Шаг 2: Пусть $y = \cos x$, тогда

Пусть $y = \cos x$, тогда уравнение примет вид:

$$4y^2 + 4|y| — 1 = 0.$$

Так как $|y|$ — это модуль, то у нас два случая:

1. $y \geq 0$, тогда $|y| = y$,
2. $y < 0$, тогда $|y| = -y$.

Случай 1: $y \geq 0$

Для $y \geq 0$ уравнение примет вид:

$$4y^2 + 4y — 1 = 0.$$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Для уравнения $ay^2 + by + c = 0$ дискриминант $D$ равен:

$$D = b^2 — 4ac.$$

В нашем случае $a = 4$, $b = 4$, $c = -1$. Подставляем:

$$D = 4^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 16 + 16 = 32.$$

Корни уравнения:

$$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{8} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{2}}{2}.$$

Пусть $y_1 = \frac{-1 + \sqrt{2}}{2}$ и $y_2 = \frac{-1 — \sqrt{2}}{2}$.

Так как $y = \cos x$ и $\cos x$ ограничен от $-1$ до $1$, то проверим, какое значение из этих корней лежит в допустимом диапазоне $[-1; 1]$.

• $y_1 = \frac{-1 + \sqrt{2}}{2}$ — это значение больше нуля, и оно лежит в интервале $[-1; 1]$.
• $y_2 = \frac{-1 — \sqrt{2}}{2}$ — это значение меньше $-1$, то есть оно выходит за пределы допустимого диапазона.

Таким образом, принимаем только $y_1 = \frac{-1 + \sqrt{2}}{2}$.

Случай 2: $y < 0$

Для $y < 0$ уравнение примет вид:

$$4y^2 — 4y — 1 = 0.$$

Решаем это уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 16 + 16 = 32.$$

Корни уравнения:

$$y = \frac{-(-4) \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 4} = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}.$$

Пусть $y_1 = \frac{1 — \sqrt{2}}{2}$ и $y_2 = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$.

$y_2$ выходит за пределы интервала $[-1; 1]$, так как $\frac{1 + \sqrt{2}}{2} > 1$, поэтому принимаем только $y_1 = \frac{1 — \sqrt{2}}{2}$.

Шаг 3: Находим значения $x$

Теперь, зная $y = \cos x$, решим для $x$.

Для $y_1 = \frac{-1 + \sqrt{2}}{2}$:

$$\cos x = \frac{-1 + \sqrt{2}}{2}.$$

Тогда:

$$x = \pm \arccos \left( \frac{-1 + \sqrt{2}}{2} \right) + 2\pi n.$$

Для $y_2 = \frac{1 — \sqrt{2}}{2}$:

$$\cos x = \frac{1 — \sqrt{2}}{2}.$$

Тогда:

$$x = \pm \arccos \left( \frac{1 — \sqrt{2}}{2} \right) + 2\pi n.$$

Ответ:

$$\pm \arccos \frac{1 — \sqrt{2}}{2} + \pi n.$$

Задача 2:

$|tg x| + 1 = \frac{1}{\cos^2 x};$

Шаг 1: Преобразуем уравнение

Дано уравнение:

$$|tg x| + 1 = \frac{1}{\cos^2 x}.$$

Используем основное тригонометрическое тождество:

$$\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1 — \cos^2 x}{\cos^2 x}.$$

Подставляем это в исходное уравнение:

$$|tg x| = \frac{1}{\cos^2 x} — 1 = \frac{1 — \cos^2 x}{\cos^2 x} = \tan^2 x.$$

Таким образом, у нас появляется следующее уравнение:

$$|tg x| = tg^2 x.$$

Шаг 2: Пусть $y = tg x$, тогда

Подставляем $y = tg x$, и у нас получается:

$$|y| = y^2.$$

Это уравнение можно решить двумя способами:

1. $y \geq 0$, тогда $y = y^2$,
2. $y < 0$, тогда $-y = y^2$.

Случай 1: $y \geq 0$

Если $y \geq 0$, то $y = y^2$, что приводит к уравнению:

$$y^2 — y = 0,$$

или:

$$y(y — 1) = 0.$$

Таким образом, $y = 0$ или $y = 1$.

Случай 2: $y < 0$

Если $y < 0$, то $-y = y^2$, что приводит к уравнению:

$$y^2 + y = 0,$$

или:

$$y(y + 1) = 0.$$

Таким образом, $y = 0$ или $y = -1$.

Шаг 3: Находим значения $x$

Теперь находим $x$ для каждого значения $y$.

1. $y = 0$ означает $tg x = 0$, что даёт:

   $$x = \arctg 0 + \pi n = \pi n.$$

2. $y = 1$ означает $tg x = 1$, что даёт:

   $$x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

3. $y = -1$ означает $tg x = -1$, что даёт:

   $$x = \arctg (-1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n.$$

Ответ:

$$\pi n, \quad \pm \frac{\pi}{4} + \pi$$