ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1010 Алимов — Подробные Ответы

1. интеграл (1;2) 3dx/(2x-1);
2. интеграл (0;1) 4dx/(3x+2);
3. интеграл (1;пи/2) sin(2x+пи/3)dx.

$\int_{1}^{2} \frac{3}{2x-1} \, dx = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \ln(2x-1) \bigg|_{1}^{2} = \frac{3}{2} \cdot \ln(2 \cdot 2 — 1) — \frac{3}{2} \cdot \ln(2 — 1) =$

$= \frac{3}{2} \cdot (\ln(4 — 1) — \ln 1) = \frac{3}{2} \cdot (\ln 3 — \ln e^0) = \frac{3}{2} \ln 3$;

$\int_{0}^{1} \frac{4}{3x+2} \, dx = 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot \ln(3x+2) \bigg|_{0}^{1} = \frac{4}{3} \cdot \ln(3 + 2) — \frac{4}{3} \cdot \ln(0 + 2) =$

$= \frac{4}{3} \cdot (\ln 5 — \ln 2) = \frac{4}{3} \ln \frac{5}{2}$;

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) \, dx = -\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}} =$

$= -\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(0 + \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} \cdot \left(-\cos \frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{2} \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) =$

$= \frac{1}{2} \cos \frac{\pi}{3} + \frac{1}{2} \cos \frac{\pi}{3} = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

1) $\int_{1}^{2} \frac{3}{2x — 1} \, dx$

Нам нужно вычислить определённый интеграл функции $f(x) = \frac{3}{2x — 1}$ на интервале от $1$ до $2$.

Шаг 1: Применение замены переменной.

Для интегрирования функции $\frac{3}{2x — 1}$ сделаем подстановку $u = 2x — 1$, от чего получаем $du = 2dx$, или $dx = \frac{du}{2}$.

Теперь пересчитаем пределы интегрирования:

• Когда $x = 1$, $u = 2 \cdot 1 — 1 = 1$.
• Когда $x = 2$, $u = 2 \cdot 2 — 1 = 3$.

Таким образом, интеграл преобразуется в:

$$\int_{1}^{2} \frac{3}{2x — 1} \, dx = \int_{1}^{3} \frac{3}{u} \cdot \frac{du}{2} = \frac{3}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{u} \, du.$$

Шаг 2: Интегрирование.

Теперь интегрируем $\frac{1}{u}$:

$$\int \frac{1}{u} \, du = \ln |u|.$$

Тогда наш интеграл становится:

$$\frac{3}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{u} \, du = \frac{3}{2} \left( \ln |u| \bigg|_1^3 \right) = \frac{3}{2} \left( \ln 3 — \ln 1 \right).$$

Зная, что $\ln 1 = 0$, получаем:

$$\frac{3}{2} \left( \ln 3 — 0 \right) = \frac{3}{2} \ln 3.$$

Ответ:

$$\frac{3}{2} \ln 3.$$

2) $\int_{0}^{1} \frac{4}{3x + 2} \, dx$

Нам нужно вычислить определённый интеграл функции $f(x) = \frac{4}{3x + 2}$ на интервале от $0$ до $1$.

Шаг 1: Применение замены переменной.

Для интегрирования функции $\frac{4}{3x + 2}$ сделаем подстановку $u = 3x + 2$, от чего получаем $du = 3dx$, или $dx = \frac{du}{3}$.

Теперь пересчитаем пределы интегрирования:

• Когда $x = 0$, $u = 3 \cdot 0 + 2 = 2$.
• Когда $x = 1$, $u = 3 \cdot 1 + 2 = 5$.

Тогда наш интеграл преобразуется в:

$$\int_{0}^{1} \frac{4}{3x + 2} \, dx = \int_{2}^{5} \frac{4}{u} \cdot \frac{du}{3} = \frac{4}{3} \int_{2}^{5} \frac{1}{u} \, du.$$

Шаг 2: Интегрирование.

Теперь интегрируем $\frac{1}{u}$:

$$\int \frac{1}{u} \, du = \ln |u|.$$

Тогда наш интеграл становится:

$$\frac{4}{3} \int_{2}^{5} \frac{1}{u} \, du = \frac{4}{3} \left( \ln |u| \bigg|_2^5 \right) = \frac{4}{3} \left( \ln 5 — \ln 2 \right).$$

Ответ:

$$\frac{4}{3} \ln \frac{5}{2}.$$

3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) \, dx$

Нам нужно вычислить определённый интеграл функции $f(x) = \sin \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right)$ на интервале от $0$ до $\frac{\pi}{2}$.

Шаг 1: Используем стандартную формулу для интегралов тригонометрических функций.

Мы знаем, что первообразная для $\sin(ax + b)$ имеет вид:

$$\int \sin(ax + b) \, dx = -\frac{1}{a} \cos(ax + b).$$

В нашем случае $a = 2$ и $b = \frac{\pi}{3}$, таким образом, первообразная будет:

$$\int \sin \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) \, dx = -\frac{1}{2} \cos \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right).$$

Шаг 2: Вычисляем определённый интеграл.

Теперь вычислим определённый интеграл:

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) \, dx = -\frac{1}{2} \cos \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}}.$$

Подставляем пределы интегрирования:

Подставляем $x = \frac{\pi}{2}$:

$$-\frac{1}{2} \cos \left( 2 \cdot \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} \right) = -\frac{1}{2} \cos \left( \pi + \frac{\pi}{3} \right) = -\frac{1}{2} \cos \left( \frac{4\pi}{3} \right).$$

Подставляем $x = 0$:

$$-\frac{1}{2} \cos \left( 2 \cdot 0 + \frac{\pi}{3} \right) = -\frac{1}{2} \cos \left( \frac{\pi}{3} \right).$$

Знаем, что $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\cos \frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2}$, поэтому получаем:

$$-\frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} \right) — \left( -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}.$$

Ответ:

$$\frac{1}{2}.$$

Итоговые ответы:

1. $\frac{3}{2} \ln 3$
2. $\frac{4}{3} \ln \frac{5}{2}$
3. $\frac{1}{2}$