ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 473 Алимов — Подробные Ответы

Известно, что tg а + ctg а = 3. Найти tg2 а + ctg2 а.

Найти значение выражения $\operatorname{tg}^2 a + \operatorname{ctg}^2 a$, если $\operatorname{tg} a + \operatorname{ctg} a = 3$.

$$\operatorname{tg}^2 a + \operatorname{ctg}^2 a = \operatorname{tg}^2 a + 2 \cdot \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{ctg} a + \operatorname{ctg}^2 a — 2 \cdot \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{ctg} a =$$ $$= (\operatorname{tg} a + \operatorname{ctg} a)^2 — 2 \cdot \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{ctg} a = 3^2 — 2 \cdot \operatorname{tg} a \cdot \frac{1}{\operatorname{tg} a} = 9 — 2 \cdot 1 = 7;$$

Ответ: $7$.

Дано:

$$\tan a + \cot a = 3$$

Найти:

$$\tan^2 a + \cot^2 a$$

Шаг 1: Вспомним формулу квадрата суммы

Для любых чисел:

$$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \Rightarrow x^2 + y^2 = (x + y)^2 — 2xy$$

Применим её к нашим функциям:

$$\tan^2 a + \cot^2 a = (\tan a + \cot a)^2 — 2\tan a \cdot \cot a$$

Шаг 2: Подставим известное значение

Из условия:

$$\tan a + \cot a = 3 \Rightarrow (\tan a + \cot a)^2 = 3^2 = 9$$

Шаг 3: Найдём произведение $\tan a \cdot \cot a$

По определению:

$$\cot a = \frac{1}{\tan a} \Rightarrow \tan a \cdot \cot a = \tan a \cdot \frac{1}{\tan a} = 1$$

Шаг 4: Подставим всё в формулу

$$\tan^2 a + \cot^2 a = 9 — 2 \cdot 1 = 9 — 2 = 7$$

Ответ:

$$\boxed{7}$$