ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1248 Алимов — Подробные Ответы

1. $\left( 2^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \right)^{\sqrt{8}} = 2^{\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{8} \right)} = 2^{\sqrt{4}} = 2^2 = 4$;
2. $\left( 2^{\sqrt{27}} \right)^{\sqrt{3}} \cdot 2^{-3} = 2^{\left( \sqrt{27} \cdot \sqrt{3} \right)} \cdot 2^{-3} = 2^{\sqrt{81}} \cdot 2^{-3} = 2^{9-3} = 2^6 = 64$

Пример 1: $\left( 2^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \right)^{\sqrt{8}}$

Наша задача — упростить выражение $\left( 2^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \right)^{\sqrt{8}}$.

Шаг 1: Применение правила степени степени

Для начала используем правило степени степени:

$$\left( a^m \right)^n = a^{m \cdot n}$$

В нашем случае основание $a = 2$, первый показатель степени $m = \frac{1}{\sqrt{2}}$, и второй показатель степени $n = \sqrt{8}$. Применяем правило степени степени:

$$\left( 2^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \right)^{\sqrt{8}} = 2^{\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{8}}$$

Шаг 2: Упрощение множителя в показателе степени

Теперь у нас осталась задача упростить выражение $\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{8}$.

Мы знаем, что $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$. Подставляем это значение:

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{8} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 2\sqrt{2}$$

Теперь упрощаем:

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 2\sqrt{2} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2$$

Шаг 3: Подстановка и завершение

Теперь подставляем полученный результат в исходное выражение:

$$2^{\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{8}} = 2^2$$

Мы знаем, что $2^2 = 4$. Таким образом:

$$\left( 2^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \right)^{\sqrt{8}} = 4$$

Итак, ответ для первого примера:

$$\left( 2^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \right)^{\sqrt{8}} = 4$$

Пример 2: $\left( 2^{\sqrt{27}} \right)^{\sqrt{3}} \cdot 2^{-3}$

Теперь разберемся со вторым примером: $\left( 2^{\sqrt{27}} \right)^{\sqrt{3}} \cdot 2^{-3}$.

Шаг 1: Применение правила степени степени

Применяем то же правило, что и в первом примере, для первой части выражения $\left( 2^{\sqrt{27}} \right)^{\sqrt{3}}$. Мы получаем:

$$\left( 2^{\sqrt{27}} \right)^{\sqrt{3}} = 2^{\sqrt{27} \cdot \sqrt{3}}$$

Шаг 2: Упрощение произведения в показателе степени

Теперь упрощаем множитель в показателе степени $\sqrt{27} \cdot \sqrt{3}$. Мы знаем, что:

$$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$$

Следовательно:

$$\sqrt{27} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot 3 = 9$$

Таким образом, мы получаем:

$$2^{\sqrt{27} \cdot \sqrt{3}} = 2^9$$

Шаг 3: Умножение на $2^{-3}$

Теперь у нас есть выражение $2^9 \cdot 2^{-3}$. Используем правило умножения степеней с одинаковыми основаниями:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

В нашем случае это будет:

$$2^9 \cdot 2^{-3} = 2^{9 — 3} = 2^6$$

Шаг 4: Завершение

Теперь мы знаем, что:

$$2^6 = 64$$

Итак, ответ для второго примера:

$$\left( 2^{\sqrt{27}} \right)^{\sqrt{3}} \cdot 2^{-3} = 64$$

Итоги:

1. $\left( 2^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \right)^{\sqrt{8}} = 4$
2. $\left( 2^{\sqrt{27}} \right)^{\sqrt{3}} \cdot 2^{-3} = 64$