ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1414 Алимов — Подробные Ответы

1. x(1+lgx) < 0,1^-2;
2. корень (x4lgx) > 10x;
3. x+3 > log3(26+3x);
4. 3-x < log5(20+5x).

1) $x^{1+\lg x} < 0{,}1^{-2}$;
$x \cdot x^{\lg x} < 100$;

Если $x < 1$, тогда:

$$\log_x x + \log_x x^{\lg x} > \log_x 100;$$ $$1 + \lg x > \frac{\lg 100}{\lg x};$$ $$1 + \lg x > \frac{2}{\lg x} \quad |\cdot \lg x;$$ $$\lg x + \lg^2 x < 2;$$

Если $x > 1$, тогда:

$$\log_x x + \log_x x^{\lg x} < \log_x 100;$$ $$1 + \lg x < \frac{\lg 100}{\lg x};$$ $$1 + \lg x < \frac{2}{\lg x} \quad |\cdot \lg x;$$ $$\lg x + \lg^2 x < 2;$$

Пусть $y = \lg x$, тогда:

$$y + y^2 < 2;$$ $$y^2 + y — 2 < 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;$$ $$(y + 2)(y — 1) < 0;$$ $$-2 < y < 1;$$

Первое значение:

$$\lg x > -2;$$ $$\lg x > \lg 10^{-2};$$ $$x > 0{,}01;$$

Второе значение:

$$\lg x < 1;$$ $$\lg x < \lg 10^1;$$ $$x < 10;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x > 0;$$

Ответ: $0{,}01 < x < 10$.

2) $\sqrt{x^{4 \lg x}} < 10x$;
$x^{2 \lg x} < 10x$;

Если $x < 1$, тогда:

$$2 \log_x x^{\lg x} > \log_x 10 + \log_x x;$$ $$2 \lg x > \frac{\lg 10}{\lg x} + 1;$$ $$2 \lg x > \frac{1}{\lg x} + 1 \quad |\cdot \lg x;$$ $$2 \lg^2 x < 1 + \lg x;$$

Если $x > 1$, тогда:

$$2 \log_x x^{\lg x} < \log_x 10 + \log_x x;$$ $$2 \lg x < \frac{\lg 10}{\lg x} + 1;$$ $$2 \lg x < \frac{1}{\lg x} + 1 \quad |\cdot \lg x;$$ $$2 \lg^2 x < 1 + \lg x;$$

Пусть $y = \lg x$, тогда:

$$2y^2 < 1 + y;$$ $$2y^2 — y — 1 < 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{1 — 3}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2} \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = 1;$$ $$\left( y + \frac{1}{2} \right)(y — 1) < 0;$$ $$-\frac{1}{2} < y < 1;$$

Первое значение:

$$\lg x > -\frac{1}{2};$$ $$\lg x > \lg 10^{-\frac{1}{2}};$$ $$x > \frac{1}{\sqrt{10}};$$

Второе значение:

$$\lg x < 1;$$ $$\lg x < \lg 10^1;$$ $$x < 10;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x > 0;$$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{10}} < x < 10$.

3) $x + 3 > \log_3 (26 + 3^x)$;
$\log_3 3^{x+3} > \log_3 (26 + 3^x)$;

$$3^{x+3} > 26 + 3^x;$$ $$3^x \cdot 3^3 — 3^x > 26;$$ $$3^x \cdot (3^3 — 3^0) > 26;$$ $$3^x \cdot (27 — 1) > 26;$$ $$3^x \cdot 26 > 26;$$ $$3^x > 1;$$ $$3^x > 3^0;$$ $$x > 0;$$

Выражение имеет смысл при:

$$26 + 3^x > 0 \quad \text{— при любом } x;$$

Ответ: $x > 0$.

4) $3 — x \leq \log_5 (20 + 5^x)$;
$\log_5 5^{3-x} \leq \log_5 (20 + 5^x)$;

$$5^{3-x} \leq 20 + 5^x;$$ $$\frac{5^3 — 20 \cdot 5^x — 5^{2x}}{5^x} < 0;$$ $$125 — 20 \cdot 5^x — 5^{2x} < 0;$$

Пусть $y = 5^x$, тогда:

$$125 — 20y — y^2 < 0;$$ $$y^2 + 20y — 125 > 0;$$ $$D = 20^2 + 4 \cdot 125 = 400 + 500 = 900, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{-20 — 30}{2} = -25 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-20 + 30}{2} = 5;$$ $$(y + 25)(y — 5) > 0;$$ $$y < -25 \quad \text{и} \quad y > 5;$$

Первое значение:

$$5^x < -25 \quad \text{— корней нет};$$

Второе значение:

$$5^x > 5;$$ $$x > 1;$$

Выражение имеет смысл при:

$$20 + 5^x > 0 \quad \text{— при любом } x;$$

Ответ: $x > 1$.

1) $x^{1 + \lg x} < 0,1^{-2}$

Шаг 1: Преобразуем правую часть

$$0,1^{-2} = (10^{-1})^{-2} = 10^2 = 100$$

Заменяем правую часть:

$$x^{1 + \lg x} < 100$$

Шаг 2: Преобразуем левую часть

Рассмотрим выражение $x^{1 + \lg x}$. Мы можем разложить его по свойствам степени:

$$x^{1 + \lg x} = x \cdot x^{\lg x}$$

Так как $x^{\lg x} = 10^{\lg x \cdot \lg x} = x$, получается:

$$x^{1 + \lg x} = x \cdot x^{\lg x} = x \cdot x = x^2$$

Теперь неравенство принимает вид:

$$x^2 < 100$$

Шаг 3: Решаем неравенство

$$x^2 < 100$$

Для решения извлекаем корень из обеих сторон:

$$|x| < 10$$

Итак, получаем:

$$-10 < x < 10$$

Шаг 4: Учитываем область допустимых значений

Поскольку мы имеем выражение $\lg x$, то $x$ должно быть строго положительным:

$$x > 0$$

Ответ:

$$0 < x < 10$$

2) $\sqrt{x^{4 \lg x}} < 10x$

Шаг 1: Преобразуем левую часть

Начнем с преобразования выражения под корнем. У нас есть:

$$\sqrt{x^{4 \lg x}} = x^{2 \lg x}$$

Теперь неравенство можно записать как:

$$x^{2 \lg x} < 10x$$

Шаг 2: Преобразуем правую часть

Запишем правую часть как степень:

$$10x = 10 \cdot x$$

Теперь неравенство выглядит как:

$$x^{2 \lg x} < 10 \cdot x$$

Шаг 3: Разделим обе части на $x$ (при $x > 0$)

$$x^{2 \lg x — 1} < 10$$

Шаг 4: Преобразуем логарифм

Пусть $y = \lg x$, тогда $x = 10^y$. Подставляем:

$$(10^y)^{2y — 1} < 10$$

Упростим:

$$10^{y(2y — 1)} < 10^1$$

Приравняем показатели:

$$y(2y — 1) < 1$$

Шаг 5: Решим квадратное неравенство

Раскроем скобки:

$$2y^2 — y < 1$$

Переносим все в одну сторону:

$$2y^2 — y — 1 < 0$$

Решаем квадратное неравенство с помощью дискриминанта:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$$

Корни квадратного уравнения:

$$y_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 — 3}{4} = -\frac{1}{2}$$ $$y_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = 1$$

Теперь, по теореме о знаках, получаем:

$$-\frac{1}{2} < y < 1$$

Шаг 6: Переводим обратно в переменную $x$

Поскольку $y = \lg x$, то:

$$-\frac{1}{2} < \lg x < 1$$

Из этих неравенств получаем:

$$10^{-\frac{1}{2}} < x < 10^1$$

Или:

$$\frac{1}{\sqrt{10}} < x < 10$$

Ответ:

$$\frac{1}{\sqrt{10}} < x < 10$$

3) $x + 3 > \log_3 (26 + 3^x)$

Шаг 1: Перепишем неравенство

$$x + 3 > \log_3 (26 + 3^x)$$

Переведем в экспоненциальную форму:

$$3^{x + 3} > 26 + 3^x$$

Шаг 2: Упростим выражение

$$3^{x+3} = 3^x \cdot 3^3 = 3^x \cdot 27$$

Теперь неравенство выглядит как:

$$3^x \cdot 27 > 26 + 3^x$$

Шаг 3: Переносим все в одну сторону

$$3^x \cdot 27 — 3^x > 26$$

Вынесем общий множитель $3^x$:

$$3^x (27 — 1) > 26$$

Упростим:

$$3^x \cdot 26 > 26$$

Теперь делим обе части на 26 (при $x > 0$):

$$3^x > 1$$

Шаг 4: Решаем неравенство

Поскольку $3^x > 1$ при $x > 0$, то решение:

$$x > 0$$

Ответ:

$$x > 0$$

4) $3 — x \leq \log_5 (20 + 5^x)$

Шаг 1: Перепишем неравенство

$$3 — x \leq \log_5 (20 + 5^x)$$

Переведем в экспоненциальную форму:

$$5^{3 — x} \leq 20 + 5^x$$

Шаг 2: Разделим обе части на $5^x$

$$\frac{5^3 — 20 \cdot 5^x — 5^{2x}}{5^x} < 0$$

Упростим:

$$125 — 20 \cdot 5^x — 5^{2x} < 0$$

Шаг 3: Пусть $y = 5^x$

Тогда:

$$125 — 20y — y^2 < 0$$

Шаг 4: Решим квадратное неравенство

$$y^2 + 20y — 125 > 0$$

Находим дискриминант:

$$D = 20^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-125) = 400 + 500 = 900$$

Корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-20 — \sqrt{900}}{2} = -25$$ $$y_2 = \frac{-20 + \sqrt{900}}{2} = 5$$

Шаг 5: Решим неравенство

$$(y + 25)(y — 5) > 0$$

Решение:

$$y < -25 \quad \text{или} \quad y > 5$$

Так как $y = 5^x$ и $5^x > 0$, то $y < -25$ невозможно, поэтому остаётся:

$$y > 5$$

Что означает:

$$5^x > 5$$

Или:

$$x > 1$$

Ответ:

$$x > 1$$