ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1536 Алимов — Подробные Ответы

1. y=-x4/4 + x2;
2. y=x4-2×3-3.

1) $y = -\frac{x^4}{4} + x^2$

Функция четная:

$$f(-x) = -\frac{(-x)^4}{4} + (-x)^2 = -\frac{x^4}{4} + x^2 = f(x);$$

Производная функции:

$$f'(x) = -\frac{1}{4}(x^4)’ + (x^2)’ = -\frac{1}{4} \cdot 4x^3 + 2x = 2x — x^3;$$

Промежуток возрастания:

$$2x — x^3 > 0;$$ $$x(2 — x^2) > 0;$$ $$x(x^2 — 2) < 0;$$ $$(x + \sqrt{2}) \cdot x \cdot (x — \sqrt{2}) < 0;$$ $$x < -\sqrt{2} \quad \text{и} \quad 0 < x < \sqrt{2};$$

Промежуток убывания:

$$-\sqrt{2} < x < 0 \quad \text{и} \quad x > \sqrt{2};$$

Стационарные точки:

$$x = \pm \sqrt{2} \quad \text{— точки максимума};$$ $$x = 0 \quad \text{— точка минимума};$$

Максимум и минимум функции:

$$y(\pm \sqrt{2}) = -\frac{(\pm \sqrt{2})^4}{4} + (\pm \sqrt{2})^2 = -\frac{4}{4} + 2 = -1 + 2 = 1;$$ $$y(0) = -\frac{0^4}{4} + 0^2 = 0 + 0 = 0;$$

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 2 & 3 \\ \hline y & 0 & -11,25 \\ \hline \end{array}$$

График функции:

2) $y = x^4 — 2x^2 — 3$

Функция четная:

$$f(-x) = (-x)^4 — 2(-x)^2 — 3 = x^4 — 2x^2 — 3 = f(x);$$

Производная функции:

$$f'(x) = (x^4)’ — 2(x^2)’ — (3)’;$$ $$f'(x) = 4x^3 — 2 \cdot 2x — 0 = 4x^3 — 4x;$$

Промежуток возрастания:

$$4x^3 — 4x > 0;$$ $$x^3 — x > 0;$$ $$x(x^2 — 1) > 0;$$ $$(x + 1) \cdot x \cdot (x — 1) > 0;$$ $$-1 < x < 0 \quad \text{и} \quad x > 1;$$

Промежуток убывания:

$$x < -1 \quad \text{и} \quad 0 < x < 1;$$

Стационарные точки:

$$x = 0 \quad \text{— точка максимума};$$ $$x = \pm 1 \quad \text{— точки минимума};$$

Максимум и минимум функции:

$$y(\pm 1) = (\pm 1)^4 — 2 \cdot (\pm 1)^2 — 3 = 1 — 2 — 3 = -4;$$ $$y(0) = 0^4 — 2 \cdot 0^2 — 3 = -3;$$

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & -2 & 2 \\ \hline y & 5 & 5 \\ \hline \end{array}$$

График функции:

1) $y = -\frac{x^4}{4} + x^2$

1. Функция четная:

Для проверки четности функции, нам нужно вычислить $f(-x)$ и убедиться, что $f(-x) = f(x)$.

Функция: $f(x) = -\frac{x^4}{4} + x^2$.

Теперь вычислим $f(-x)$:

$$f(-x) = -\frac{(-x)^4}{4} + (-x)^2$$ $$(-x)^4 = x^4 \quad \text{и} \quad (-x)^2 = x^2,$$

следовательно:

$$f(-x) = -\frac{x^4}{4} + x^2 = f(x).$$

Так как $f(-x) = f(x)$, функция четная.

2. Производная функции:

Для нахождения производной функции $f(x) = -\frac{x^4}{4} + x^2$ используем стандартные правила дифференцирования.

$$f'(x) = -\frac{1}{4} \cdot \frac{d}{dx}(x^4) + \frac{d}{dx}(x^2).$$

Вычислим производные:

$$\frac{d}{dx}(x^4) = 4x^3, \quad \frac{d}{dx}(x^2) = 2x.$$

Теперь подставим:

$$f'(x) = -\frac{1}{4} \cdot 4x^3 + 2x = -x^3 + 2x = 2x — x^3.$$

3. Промежуток возрастания:

Для нахождения промежутка возрастания, нужно решить неравенство:

$$f'(x) = 2x — x^3 > 0.$$

Преобразуем неравенство:

$$x(2 — x^2) > 0.$$ $$x(x^2 — 2) < 0.$$

Данное выражение можно разложить как:

$$(x + \sqrt{2}) \cdot x \cdot (x — \sqrt{2}) < 0.$$

Теперь решим неравенство методом интервалов. Мы имеем три критических точки: $x = -\sqrt{2}, x = 0, x = \sqrt{2}$. Разбиваем числовую прямую на интервалы и определяем знак на каждом интервале:

• Для $x < -\sqrt{2}$ (например, $x = -2$) знаки множителей: $(-) \cdot (-) \cdot (-) = —$.
• Для $-\sqrt{2} < x < 0$ (например, $x = -1$) знаки множителей: $(+) \cdot (-) \cdot (-) = +$.
• Для $0 < x < \sqrt{2}$ (например, $x = 1$) знаки множителей: $(+) \cdot (+) \cdot (-) = —$.
• Для $x > \sqrt{2}$ (например, $x = 2$) знаки множителей: $(+) \cdot (+) \cdot (+) = +$.

Таким образом, неравенство выполняется на интервалах $(-\sqrt{2}, 0)$ и $(0, \sqrt{2})$, то есть функция возрастает на этих промежутках.

Ответ: промежуток возрастания — $(-\sqrt{2}, 0) \cup (0, \sqrt{2})$.

4. Промежуток убывания:

Для нахождения промежутка убывания нужно исследовать, где производная $f'(x)$ отрицательна.

Из предыдущих вычислений видно, что производная $f'(x) = 2x — x^3$ отрицательна на интервалах, где:

• $x < -\sqrt{2}$,
• $\sqrt{2} < x$.

Ответ: промежуток убывания — $(-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$.

5. Стационарные точки:

Стационарные точки находятся из условия $f'(x) = 0$.

$$2x — x^3 = 0,$$ $$x(2 — x^2) = 0.$$

Это уравнение имеет три корня: $x = 0$ и $x = \pm \sqrt{2}$.

Ответ: стационарные точки — $x = 0, \pm \sqrt{2}$.

6. Максимум и минимум функции:

Для определения максимумов и минимумов исследуем второй производный тест.

• Для $x = 0$, вторая производная:

$$f»(x) = -3x^2 + 2.$$ $$f»(0) = -3(0)^2 + 2 = 2 > 0.$$

Так как $f»(0) > 0$, точка $x = 0$ — это минимум.

• Для $x = \pm \sqrt{2}$, вторая производная:

$$f»(\pm \sqrt{2}) = -3(\sqrt{2})^2 + 2 = -6 + 2 = -4 < 0.$$

Так как $f»(\pm \sqrt{2}) < 0$, точки $x = \pm \sqrt{2}$ — это максимумы.

Ответ:

• Минимум в точке $x = 0$, $y(0) = 0$.
• Максимумы в точках $x = \pm \sqrt{2}$, $y(\pm \sqrt{2}) = 1$.

7. Координаты некоторых точек:

Найдем значения функции для $x = 2$ и $x = 3$:

• $y(2) = -\frac{2^4}{4} + 2^2 = -\frac{16}{4} + 4 = -4 + 4 = 0$.
• $y(3) = -\frac{3^4}{4} + 3^2 = -\frac{81}{4} + 9 = -20.25 + 9 = -11.25$.

Ответ: координаты точек $(2, 0)$ и $(3, -11.25)$.

8. График функции:

График функции изображен ниже:

2) $y = x^4 — 2x^2 — 3$

1. Функция четная:

Проверим, является ли функция четной:

$$f(-x) = (-x)^4 — 2(-x)^2 — 3 = x^4 — 2x^2 — 3 = f(x).$$

Так как $f(-x) = f(x)$, функция четная.

2. Производная функции:

Найдем производную функции $f(x) = x^4 — 2x^2 — 3$:

$$f'(x) = (x^4)’ — 2(x^2)’ — (3)’ = 4x^3 — 4x.$$

3. Промежуток возрастания:

Решим неравенство $f'(x) > 0$:

$$4x^3 — 4x > 0,$$ $$x(x^2 — 1) > 0,$$ $$(x + 1) \cdot x \cdot (x — 1) > 0.$$

Решаем неравенство методом интервалов, имеем критические точки $x = -1, 0, 1$. Разбиваем числовую прямую и исследуем знак на каждом интервале:

• Для $-1 < x < 0$ (например, $x = -0.5$) знак: $(+) \cdot (-) \cdot (-) = +$.
• Для $x > 1$ (например, $x = 2$) знак: $(+) \cdot (+) \cdot (+) = +$.

Ответ: промежуток возрастания — $(-1, 0) \cup (1, \infty)$.

4. Промежуток убывания:

Для нахождения промежутка убывания исследуем, где производная отрицательна:

• $x < -1$ и $0 < x < 1$.

Ответ: промежуток убывания — $(-\infty, -1) \cup (0, 1)$.

5. Стационарные точки:

Для нахождения стационарных точек решим $f'(x) = 0$:

$$4x^3 — 4x = 0,$$ $$4x(x^2 — 1) = 0,$$ $$x = 0, \pm 1.$$

Ответ: стационарные точки — $x = 0, \pm 1$.

6. Максимум и минимум функции:

• Для $x = 0$:

$$f»(x) = 12x^2 — 4, \quad f»(0) = -4 < 0.$$

Точка $x = 0$ — максимум.

• Для $x = \pm 1$:

$$f»(1) = 12(1)^2 — 4 = 8 > 0.$$

Точки $x = \pm 1$ — минимумы.

Ответ:

• Максимум в точке $x = 0$, $y(0) = -3$.
• Минимумы в точках $x = \pm 1$, $y(\pm 1) = -4$.

7. Координаты некоторых точек:

Для $x = -2$ и $x = 2$:

• $y(-2) = (-2)^4 — 2 \cdot (-2)^2 — 3 = 16 — 8 — 3 = 5$.
• $y(2) = 2^4 — 2 \cdot 2^2 — 3 = 16 — 8 — 3 = 5$.

Ответ: координаты точек $(-2, 5)$ и $(2, 5)$.

8. График функции:

График функции изображен ниже: