ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 990 Алимов — Подробные Ответы

1. (x+4)4;
2. (x-2)3;
3. 2/корень (x-2);
4. 3/ корень 3 степени (x+3);
5. 1/(x-1) + 4cos(x+2);
6. 3/(x-3) — 2sin(x-1).

1. $f(x) = (x + 1)^4$;
   $F(x) = \frac{(x + 1)^5}{1 \cdot 5} = \frac{1}{5}(x + 1)^5 + C$;
2. $f(x) = (x — 2)^3$;
   $F(x) = \frac{(x — 2)^4}{1 \cdot 4} = \frac{1}{4}(x — 2)^4 + C$;
3. $f(x) = \frac{2}{\sqrt{x — 2}} = 2 \cdot (x — 2)^{-\frac{1}{2}}$;
   $F(x) = 2 \cdot \frac{(x — 2)^{\frac{1}{2}}}{1 \cdot \frac{1}{2}} = 4\sqrt{x — 2} + C$;
4. $f(x) = \frac{3}{\sqrt[3]{x + 3}} = 3 \cdot (x + 3)^{-\frac{1}{3}}$;
   $F(x) = 3 \cdot \frac{(x + 3)^{\frac{2}{3}}}{1 \cdot \frac{2}{3}} = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{(x + 3)^2} + C$;
5. $f(x) = \frac{1}{x — 1} + 4 \cos(x + 2)$;
   $F(x) = \frac{1}{1} \cdot \ln(x — 1) + 4 \cdot \frac{1}{1} \cdot \sin(x + 2)$;
   $F(x) = \ln(x — 1) + 4 \sin(x + 2) + C$;
6. $f(x) = \frac{3}{x^3 — 3} — 2 \sin(x — 1)$;
   $F(x) = 3 \cdot \frac{1}{1} \cdot \ln(x — 3) — 2 \cdot \left(-\frac{1}{1}\right) \cdot \cos(x — 1)$;
   $F(x) = 3 \ln(x — 3) + 2 \cos(x — 1) + C$

Задача 1:

Дано:
$f(x) = (x + 1)^4$
Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

Для нахождения первообразной функции $f(x) = (x + 1)^4$, применим стандартное правило интегрирования для степенной функции:

Интеграл от $(x + a)^n$ равен $\frac{(x + a)^{n+1}}{n+1}$, при $n \neq -1$.

В данном случае $a = 1$ и $n = 4$.

Интегрируем $(x + 1)^4$:

$$\int (x + 1)^4 \, dx = \frac{(x + 1)^5}{5}.$$

Таким образом, первообразная будет:

$$F(x) = \frac{(x + 1)^5}{5} + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ: $F(x) = \frac{(x + 1)^5}{5} + C$.

Задача 2:

Дано:
$f(x) = (x — 2)^3$
Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

Используем стандартное правило интегрирования для степенных функций:

Интегрируем $(x — 2)^3$:

$$\int (x — 2)^3 \, dx = \frac{(x — 2)^4}{4}.$$

Таким образом, первообразная будет:

$$F(x) = \frac{(x — 2)^4}{4} + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ: $F(x) = \frac{(x — 2)^4}{4} + C$.

Задача 3:

Дано:
$f(x) = \frac{2}{\sqrt{x — 2}} = 2 \cdot (x — 2)^{-\frac{1}{2}}$
Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

Используем правило интегрирования для степенных функций:

Интеграл от $x^n$ равен $\frac{x^{n+1}}{n+1}$, где $n \neq -1$.

В данном случае $n = -\frac{1}{2}$.

Интегрируем $2 \cdot (x — 2)^{-\frac{1}{2}}$:

$$\int 2 \cdot (x — 2)^{-\frac{1}{2}} \, dx = 2 \cdot \frac{(x — 2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 4 \sqrt{x — 2}.$$

Таким образом, первообразная будет:

$$F(x) = 4 \sqrt{x — 2} + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ: $F(x) = 4 \sqrt{x — 2} + C$.

Задача 4:

Дано:
$f(x) = \frac{3}{\sqrt[3]{x + 3}} = 3 \cdot (x + 3)^{-\frac{1}{3}}$
Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

Используем правило интегрирования для степенных функций:

Интеграл от $x^n$ равен $\frac{x^{n+1}}{n+1}$, где $n \neq -1$.

В данном случае $n = -\frac{1}{3}$.

Интегрируем $3 \cdot (x + 3)^{-\frac{1}{3}}$:

$$\int 3 \cdot (x + 3)^{-\frac{1}{3}} \, dx = 3 \cdot \frac{(x + 3)^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} = \frac{9}{2} (x + 3)^{\frac{2}{3}}.$$

Таким образом, первообразная будет:

$$F(x) = \frac{9}{2} (x + 3)^{\frac{2}{3}} + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ: $F(x) = \frac{9}{2} (x + 3)^{\frac{2}{3}} + C$.

Задача 5:

Дано:
$f(x) = \frac{1}{x — 1} + 4 \cos(x + 2)$
Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

Используем стандартные правила интегрирования:

Интегрируем $\frac{1}{x — 1}$:

$$\int \frac{1}{x — 1} \, dx = \ln |x — 1|.$$

Интегрируем $4 \cos(x + 2)$:

$$\int 4 \cos(x + 2) \, dx = 4 \sin(x + 2).$$

Таким образом, первообразная будет:

$$F(x) = \ln |x — 1| + 4 \sin(x + 2) + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ: $F(x) = \ln |x — 1| + 4 \sin(x + 2) + C$.

Задача 6:

Дано:
$f(x) = \frac{3}{x^3 — 3} — 2 \sin(x — 1)$
Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

Используем стандартные правила интегрирования:

Интегрируем $\frac{3}{x^3 — 3}$:

$$\int \frac{3}{x^3 — 3} \, dx = 3 \ln |x — 3|.$$

Интегрируем $-2 \sin(x — 1)$:

$$\int -2 \sin(x — 1) \, dx = 2 \cos(x — 1).$$

Таким образом, первообразная будет:

$$F(x) = 3 \ln |x — 3| + 2 \cos(x — 1) + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ: $F(x) = 3 \ln |x — 3| + 2 \cos(x — 1) + C$.