ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1598 Алимов — Подробные Ответы

1. 1 + logx(5-x) = log7(4)-logx(7);
2. (log9 (7 — x) + 1) log3-x(3)=1.

1) $1 + \log_x (5 — x) = \log_7 4 \cdot \log_x 7$;

$$\log_x x^1 + \log_x (5 — x) = \log_x 7^{\log_7 4};$$ $$\log_x (x \cdot (5 — x)) = \log_x 4;$$ $$x(5 — x) = 4;$$ $$5x — x^2 = 4;$$ $$x^2 — 5x + 4 = 0;$$ $$D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x > 0 \quad \text{и} \quad x \neq 1;$$ $$5 — x > 0, \text{ отсюда } x < 5;$$

Ответ: $x = 4$.

2) $(\log_9 (7 — x) + 1) \cdot \log_{3-x} 3 = 1$;

$$(\log_9 (7 — x) + \log_9 9^1) \cdot \frac{\log_3 3}{\log_3 (3 — x)} = 1;$$ $$\frac{1}{2} \cdot \frac{\log_3 (9 \cdot (7 — x))}{\log_3 (3 — x)} = 1;$$ $$\log_{3-x} (9 \cdot (7 — x)) = 2;$$ $$\log_{3-x} (9 \cdot (7 — x)) = \log_{3-x} (3 — x)^2;$$ $$9(7 — x) = (3 — x)^2;$$ $$63 — 9x = 9 — 6x + x^2;$$ $$x^2 + 3x — 54 = 0;$$ $$D = 3^2 + 4 \cdot 54 = 9 + 216 = 225, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{-3 — 15}{2} = -9 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-3 + 15}{2} = 6;$$

Выражение имеет смысл при:

$$3 — x \geq 0, \text{ отсюда } x < 3;$$ $$3 — x \neq 1, \text{ отсюда } x \neq 2;$$ $$7 — x > 0, \text{ отсюда } x < 7;$$

Ответ: $x = -9$.

1) Уравнение:

$$1 + \log_x (5 — x) = \log_7 4 \cdot \log_x 7$$

Шаг 1: Преобразуем логарифмическое уравнение

Переносим 1 в правую часть уравнения:

$$\log_x (5 — x) = \log_7 4 \cdot \log_x 7 — 1.$$

Теперь, для упрощения, заметим, что $\log_x x^1 = 1$, и мы можем записать уравнение как:

$$\log_x x + \log_x (5 — x) = \log_x 7^{\log_7 4}.$$

Используя свойство логарифмов, $\log_a b^c = c \log_a b$, получаем:

$$\log_x (x \cdot (5 — x)) = \log_x 4.$$

Шаг 2: Убираем логарифмы

Если у нас есть выражения вида $\log_a A = \log_a B$, то по определению логарифма $A = B$. Применим это к нашему уравнению:

$$x(5 — x) = 4.$$

Шаг 3: Решаем полученное уравнение

Раскрываем скобки:

$$5x — x^2 = 4.$$

Переносим все на одну сторону:

$$x^2 — 5x + 4 = 0.$$

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение

Для решения квадратного уравнения используем формулу дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9.$$

Корни уравнения находятся по формуле:

$$x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 — 3}{2} = 1,$$ $$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 3}{2} = 4.$$

Шаг 5: Проверяем условия существования

Теперь проверим, при каких значениях $x$ выражение имеет смысл. Мы знаем, что логарифм существует только тогда, когда аргумент положителен и основание логарифма тоже положительно. Таким образом, нам нужно соблюсти несколько условий:

1. $x > 0$ — основание логарифма должно быть больше нуля.
2. $x \neq 1$ — основание логарифма не может быть равно 1.
3. $5 — x > 0$ — аргумент логарифма $\log_x (5 — x)$ должен быть положительным, следовательно, $x < 5$.

Таким образом, $x$ должно быть больше 0 и меньше 5, но также оно не может быть равно 1. Проверим это для корней $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

• Для $x_1 = 1$, основание логарифма будет равно 1, что невозможно.
• Для $x_2 = 4$, основание логарифма больше 0, и $5 — 4 = 1$, что также положительно. Это решение подходит.

Ответ для задачи 1:

$$x = 4.$$

2) Уравнение:

$$(\log_9 (7 — x) + 1) \cdot \log_{3-x} 3 = 1$$

Шаг 1: Преобразуем выражение

Начнем с преобразования первого логарифма. Мы знаем, что $\log_9 a = \frac{\log_3 a}{\log_3 9}$, и $\log_3 9 = 2$, так что:

$$\log_9 (7 — x) = \frac{\log_3 (7 — x)}{2}.$$

Подставим это в исходное уравнение:

$$\left( \frac{\log_3 (7 — x)}{2} + 1 \right) \cdot \log_{3-x} 3 = 1.$$

Используем свойство логарифмов для второго логарифма. Напомним, что $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$, так что:

$$\log_{3-x} 3 = \frac{\log_3 3}{\log_3 (3 — x)} = \frac{1}{\log_3 (3 — x)}.$$

Теперь уравнение становится:

$$\left( \frac{\log_3 (7 — x)}{2} + 1 \right) \cdot \frac{1}{\log_3 (3 — x)} = 1.$$

Шаг 2: Упростим уравнение

Умножаем обе части уравнения на $\log_3 (3 — x)$:

$$\left( \frac{\log_3 (7 — x)}{2} + 1 \right) = \log_3 (3 — x).$$

Теперь раскроем скобки:

$$\frac{\log_3 (7 — x)}{2} + 1 = \log_3 (3 — x).$$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

$$\log_3 (7 — x) + 2 = 2 \log_3 (3 — x).$$

Используем свойство логарифмов, $a \log_b c = \log_b c^a$, для правой части:

$$\log_3 (7 — x) + 2 = \log_3 (3 — x)^2.$$

Шаг 3: Убираем логарифмы

Поскольку у нас есть логарифмы с одинаковыми основаниями, то можно приравнять аргументы:

$$7 — x + 2 = (3 — x)^2.$$

Раскроем скобки и упростим:

$$9 — x = 9 — 6x + x^2.$$

Переносим все на одну сторону:

$$x^2 + 3x — 54 = 0.$$

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение

Вычислим дискриминант:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225.$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-3 — \sqrt{225}}{2} = \frac{-3 — 15}{2} = -9,$$ $$x_2 = \frac{-3 + \sqrt{225}}{2} = \frac{-3 + 15}{2} = 6.$$

Шаг 5: Проверяем условия существования

Для логарифмов необходимо соблюдать несколько условий:

1. $3 — x > 0$, то есть $x < 3$.
2. $3 — x \neq 1$, то есть $x \neq 2$.
3. $7 — x > 0$, то есть $x < 7$.

Таким образом, $x = -9$ не удовлетворяет ни одному из условий (так как $7 — (-9) > 0$, но это не влияет на остальное). Следовательно, оставляем $x = 6$.

Ответ для задачи 2:

$$x = -9.$$