ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 259 Алимов — Подробные Ответы

1. 2*3^(3x-1) + 27^(x-2/3) = 9^(x-1) +2* 3^(2x-1);
2. 2^((корень x) + 2) — 2^((корень x) + 1) = 12 + 2^((корень x) — 1) ;
3. 22*9^(x-1) — 1/3*3^(x+3) +1/3*3^(x+2) =4;
4. 5*4^(x-1) -16x + 0,25 * 2^(2x+2) +7=0

1)
$2 \cdot 3^{3x-1} + 27^{x-\frac{2}{3}} = 9^{x-1} + 2 \cdot 3^{2x-1};$
$2 \cdot 3^{3x} \cdot \frac{1}{3} + (3^3)^{x-\frac{2}{3}} = (3^2)^{x-1} + 2 \cdot 3^{2x} \cdot \frac{1}{3};$
$\frac{2}{3} \cdot 3^{3x} + 3^{3x-2} = 3^{2x-2} + \frac{2}{3} \cdot 3^{2x};$
$3^{3x} \cdot \left( \frac{2}{3} + 3^{-2} \right) = 3^{2x} \cdot \left( 3^{-2} + \frac{2}{3} \right);$
$3^{3x} \cdot \left( \frac{2}{3} + \frac{1}{9} \right) = 3^{2x} \cdot \left( \frac{1}{9} + \frac{2}{3} \right);$
$3^{3x} \cdot \frac{7}{9} = 3^{2x} \cdot \frac{7}{9};$
$3^{3x} = 3^{2x};$
$3x = 2x, \text{отсюда } x = 0;$
Ответ: $x = 0$.

2)
$2^{\sqrt{x+2}} — 2^{\sqrt{x+1}} = 12 + 2^{\sqrt{x-1}};$
$2^{\sqrt{x+2}} — 2^{\sqrt{x+1}} — 2^{\sqrt{x-1}} = 12;$
$2^{\sqrt{x}} \cdot \left( 2^{\frac{2}{2}} — 2^{\frac{1}{2}} — 2^{-\frac{1}{2}} \right) = 12;$
$2^{\sqrt{x}} \cdot \left( 2 — 1 — \frac{1}{2} \right) = 12;$
$2^{\sqrt{x}} \cdot \left( 2 — \frac{3}{2} \right) = 12;$
$2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{3}{2} = 12;$
$2^{\sqrt{x}} = 8;$
$2^{\sqrt{x}} = 2^3;$
$\sqrt{x} = 3, \text{отсюда } x = 9;$
Ответ: $x = 9$.

3)
$22 \cdot 9^{x-1} — \frac{1}{3} \cdot 3^{x+3} + \frac{1}{3} \cdot 3^{x+2} = 4;$
$22 \cdot 9^{x-1} — \frac{1}{3} \cdot 3^{x+3} + \frac{1}{3} \cdot 3^{x+2} = 4 \quad | \cdot 9;$
$22 \cdot 3^{2x} — 3 \cdot 3^{x+3} + 3 \cdot 3^{x+2} = 36;$
$22 \cdot 3^{2x} — 81 \cdot 3^x + 27 \cdot 3^x = 36;$
$22 \cdot 3^{2x} — 54 \cdot 3^x — 36 = 0;$
Пусть $y = 3^x$, тогда:
$22y^2 — 54y — 36 = 0;$
$D = 54^2 + 4 \cdot 22 \cdot 36 = 2916 + 3168 = 6084, \text{тогда:}$
$y_1 = \frac{54 — 78}{2 \cdot 22} = \frac{-24}{44} = -\frac{6}{11};$
$y_2 = \frac{54 + 78}{2 \cdot 22} = \frac{132}{44} = 3;$
Первое значение:
$3^x = -\frac{6}{11} \quad \text{— нет корней;}$
Второе значение:
$3^x = 3, \text{отсюда } x = 1;$
Ответ: $x = 1$.

4)
$5 \cdot 4^{x-1} — 16^x + 0.25 \cdot 2^{2x+2} + 7 = 0;$
$5 \cdot 4^x \cdot \frac{1}{4} — (4^2)^x + \frac{1}{4} \cdot 2^{2x} \cdot 2^2 + 7 = 0;$
$5 \cdot 4^x \cdot \frac{1}{4} — 4^{2x} + \frac{1}{4} \cdot 4^x \cdot 4 + 7 = 0;$
$5 \cdot 4^x \cdot \frac{1}{4} — 4^{2x} + 4^x + 7 = 0 \quad | \cdot 4;$
$5 \cdot 4^x — 4 \cdot 4^{2x} + 4 \cdot 4^x + 28 = 0;$
$4 \cdot 4^{2x} — 9 \cdot 4^x — 28 = 0;$
Пусть $y = 4^x$, тогда:
$4y^2 — 9y — 28 = 0;$
$D = 9^2 + 4 \cdot 4 \cdot 28 = 81 + 448 = 529, \text{тогда:}$
$y_1 = \frac{9 — 23}{2 \cdot 4} = \frac{-14}{8} = -\frac{7}{4};$
$y_2 = \frac{9 + 23}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4;$
Первое значение:
$4^x = -\frac{7}{4} \quad \text{— нет корней;}$
Второе значение:
$4^x = 4, \text{отсюда } x = 1;$
Ответ: $x = 1$.

1)
$2 \cdot 3^{3x-1} + 27^{x-\frac{2}{3}} = 9^{x-1} + 2 \cdot 3^{2x-1};$

Перепишем все основания в виде степеней числа 3.

• $27 = 3^3$, поэтому $27^{x-\frac{2}{3}} = (3^3)^{x-\frac{2}{3}} = 3^{3(x-\frac{2}{3})} = 3^{3x-2};$
• $9 = 3^2$, поэтому $9^{x-1} = (3^2)^{x-1} = 3^{2(x-1)} = 3^{2x-2};$

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

$$2 \cdot 3^{3x-1} + 3^{3x-2} = 3^{2x-2} + 2 \cdot 3^{2x-1}.$$

Теперь выразим степени $3$ в одинаковом виде, чтобы легче было работать с уравнением:

$$2 \cdot 3^{3x} \cdot \frac{1}{3} + 3^{3x-2} = 3^{2x-2} + 2 \cdot 3^{2x} \cdot \frac{1}{3}.$$

Умножим обе стороны на 3, чтобы избавиться от дробей:

$$2 \cdot 3^{3x} + 3^{3x} = 3^{2x} + 2 \cdot 3^{2x}.$$

Теперь вынесем общие множители:

$$3^{3x} \cdot \left( 2 + 1 \right) = 3^{2x} \cdot \left( 1 + 2 \right),$$

что упрощается до:

$$3^{3x} \cdot 3 = 3^{2x} \cdot 3.$$

Теперь разделим обе части на 3:

$$3^{3x} = 3^{2x}.$$

Поскольку основания равны, приравняем показатели степеней:

$$3x = 2x.$$

Решаем:

$$x = 0.$$

Ответ: $x = 0$.

2)
$2^{\sqrt{x+2}} — 2^{\sqrt{x+1}} = 12 + 2^{\sqrt{x-1}};$

Переносим все члены в одну сторону:

$$2^{\sqrt{x+2}} — 2^{\sqrt{x+1}} — 2^{\sqrt{x-1}} = 12.$$

Вынесем общий множитель $2^{\sqrt{x}}$:

$$2^{\sqrt{x}} \cdot \left( 2^{\frac{2}{2}} — 2^{\frac{1}{2}} — 2^{-\frac{1}{2}} \right) = 12.$$

Преобразуем выражения внутри скобок:

$$2^{\sqrt{x}} \cdot \left( 2 — 1 — \frac{1}{2} \right) = 12.$$

Упрощаем:

$$2^{\sqrt{x}} \cdot \left( \frac{3}{2} \right) = 12.$$

Теперь умножим обе стороны на 2:

$$2^{\sqrt{x}} \cdot 3 = 24.$$

Делим обе стороны на 3:

$$2^{\sqrt{x}} = 8.$$

Преобразуем 8 как степень числа 2:

$$2^{\sqrt{x}} = 2^3.$$

Приравниваем показатели степеней:

$$\sqrt{x} = 3.$$

Квадратируем обе стороны:

$$x = 9.$$

Ответ: $x = 9$.

3)
$22 \cdot 9^{x-1} — \frac{1}{3} \cdot 3^{x+3} + \frac{1}{3} \cdot 3^{x+2} = 4;$

Перепишем 9 как $3^2$:

$$22 \cdot (3^2)^{x-1} — \frac{1}{3} \cdot 3^{x+3} + \frac{1}{3} \cdot 3^{x+2} = 4.$$

Теперь упростим выражения:

$$22 \cdot 3^{2(x-1)} — \frac{1}{3} \cdot 3^{x+3} + \frac{1}{3} \cdot 3^{x+2} = 4.$$

Умножим обе части на 9, чтобы избавиться от дробей:

$$22 \cdot 9^{x-1} — 3^{x+3} + 3^{x+2} = 36.$$

Теперь примем $y = 3^x$. Подставляем это в уравнение:

$$22 \cdot y^2 — 3 \cdot y + 3 \cdot y = 36.$$

Упростим:

$$22 \cdot y^2 — 54y — 36 = 0.$$

Решим это квадратное уравнение по формуле:

$$D = (-54)^2 — 4 \cdot 22 \cdot (-36) = 2916 + 3168 = 6084.$$

Находим корни уравнения:

$$y_1 = \frac{54 — 78}{2 \cdot 22} = \frac{-24}{44} = -\frac{6}{11},$$ $$y_2 = \frac{54 + 78}{2 \cdot 22} = \frac{132}{44} = 3.$$

Первое значение $y_1 = -\frac{6}{11}$ не подходит, так как $y = 3^x$ всегда положительно.

Для второго значения:

$$y_2 = 3, \quad 3^x = 3, \quad x = 1.$$

Ответ: $x = 1$.

4)
$5 \cdot 4^{x-1} — 16^x + 0.25 \cdot 2^{2x+2} + 7 = 0;$

Перепишем 16 как $4^2$:

$$5 \cdot 4^{x-1} — (4^2)^x + \frac{1}{4} \cdot 2^{2x} \cdot 2^2 + 7 = 0.$$

Упростим выражения:

$$5 \cdot 4^x \cdot \frac{1}{4} — 4^{2x} + \frac{1}{4} \cdot 4^x \cdot 4 + 7 = 0.$$

Дальше:

$$5 \cdot 4^x \cdot \frac{1}{4} — 4^{2x} + 4^x + 7 = 0.$$

Умножим обе части на 4:

$$5 \cdot 4^x — 4 \cdot 4^{2x} + 4 \cdot 4^x + 28 = 0.$$

Приводим подобные:

$$4 \cdot 4^{2x} — 9 \cdot 4^x — 28 = 0.$$

Пусть $y = 4^x$, тогда уравнение примет вид:

$$4y^2 — 9y — 28 = 0.$$

Решим его по формуле для квадратного уравнения:

$$D = (-9)^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-28) = 81 + 448 = 529.$$

Корни:

$$y_1 = \frac{9 — 23}{2 \cdot 4} = \frac{-14}{8} = -\frac{7}{4},$$ $$y_2 = \frac{9 + 23}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4.$$

Первое значение $y_1 = -\frac{7}{4}$ не подходит, так как $y = 4^x$ всегда положительно.

Для второго значения:

$$y_2 = 4, \quad 4^x = 4, \quad x = 1.$$

Ответ: $x = 1$.