ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 601 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить (601—603).

1. cos(arcsin3/5);
2. cos( arcsin(-4/5));
3. cos(arcsin(-1/3));
4. cos(arcsin 1/4).

$\mathrm{1.\; cos}(\arcsin \frac{3}{5})=\sqrt{1-{\sin }^2(\arcsin \frac{3}{5})}=\sqrt{1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}=\sqrt{\frac{25}{25}-\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}$

$\mathrm{2.\; cos}(\arcsin (-\frac{4}{5}))=\sqrt{1-{\sin }^2(\arcsin (-\frac{4}{5}))}=\sqrt{1-{(-\frac{4}{5})}^2}=$

$=\sqrt{\frac{25}{25}-\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}$

$\mathrm{3.\; cos}(\arcsin (-\frac{1}{3}))=\sqrt{1-{\sin }^2(\arcsin (-\frac{1}{3}))}=\sqrt{1-{(-\frac{1}{3})}^2}=$

$=\sqrt{\frac{9}{9}-\frac{1}{9}}=\sqrt{\frac{8}{9}}=\sqrt{\frac{4\cdot 2}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\mathrm{4.\; cos}(\arcsin \frac{1}{4})=\sqrt{1-{\sin }^2(\arcsin \frac{1}{4})}=\sqrt{1-{\left(\frac{1}{4}\right)}^2}=\sqrt{\frac{16}{16}-\frac{1}{16}}=\sqrt{\frac{15}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$

Пример 1

Нам нужно найти $\cos (\arcsin \frac{3}{5})$.

1. Понимание задачи:
   $\arcsin \frac{3}{5}$ — это угол $\theta$, такой что $\sin \theta =\frac{3}{5}$. Задача сводится к нахождению значения $\cos \theta$, если известно, что $\sin \theta =\frac{3}{5}$.
2. Используем основное тригонометрическое тождество:$${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$$

   Из этого тождества мы можем выразить $\cos \theta$:

   $${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$$

   Подставим значение $\sin \theta =\frac{3}{5}$:

   $${\cos }^2\theta =1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2=1-\frac{9}{25}=\frac{25}{25}-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$$

   Теперь находим $\cos \theta$:

   $$\cos \theta =\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}$$

Ответ:

$$\cos (\arcsin \frac{3}{5})=\frac{4}{5}$$

Пример 2

Нам нужно найти $\cos (\arcsin (-\frac{4}{5}))$.

1. Понимание задачи:
   $\arcsin (-\frac{4}{5})$ — это угол $\theta$, такой что $\sin \theta =-\frac{4}{5}$. Задача сводится к нахождению значения $\cos \theta$, если известно, что $\sin \theta =-\frac{4}{5}$.
2. Используем основное тригонометрическое тождество:$${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$$

   Из этого тождества выражаем $\cos \theta$:

   $${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$$

   Подставим значение $\sin \theta =-\frac{4}{5}$:

   $${\cos }^2\theta =1-{(-\frac{4}{5})}^2=1-\frac{16}{25}=\frac{25}{25}-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$$

   Теперь находим $\cos \theta$:

   $$\cos \theta =\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}$$

Ответ:

$$\cos (\arcsin (-\frac{4}{5}))=\frac{3}{5}$$

Пример 3

Нам нужно найти $\cos (\arcsin (-\frac{1}{3}))$.

1. Понимание задачи:
   $\arcsin (-\frac{1}{3})$ — это угол $\theta$, такой что $\sin \theta =-\frac{1}{3}$. Задача сводится к нахождению значения $\cos \theta$, если известно, что $\sin \theta =-\frac{1}{3}$.
2. Используем основное тригонометрическое тождество:$${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$$

   Из этого тождества выражаем $\cos \theta$:

   $${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$$

   Подставим значение $\sin \theta =-\frac{1}{3}$:

   $${\cos }^2\theta =1-{(-\frac{1}{3})}^2=1-\frac{1}{9}=\frac{9}{9}-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$$

   Теперь находим $\cos \theta$:

   $$\cos \theta =\sqrt{\frac{8}{9}}=\sqrt{\frac{4\cdot 2}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$$

Ответ:

$$\cos (\arcsin (-\frac{1}{3}))=\frac{2\sqrt{2}}{3}$$

Пример 4

Нам нужно найти $\cos (\arcsin \frac{1}{4})$.

1. Понимание задачи:
   $\arcsin \frac{1}{4}$ — это угол $\theta$, такой что $\sin \theta =\frac{1}{4}$. Задача сводится к нахождению значения $\cos \theta$, если известно, что $\sin \theta =\frac{1}{4}$.
2. Используем основное тригонометрическое тождество:$${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$$

   Из этого тождества выражаем $\cos \theta$:

   $${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$$

   Подставим значение $\sin \theta =\frac{1}{4}$:

   $${\cos }^2\theta =1-{\left(\frac{1}{4}\right)}^2=1-\frac{1}{16}=\frac{16}{16}-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$$

   Теперь находим $\cos \theta$:

   $$\cos \theta =\sqrt{\frac{15}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$$

Ответ:

$$\cos (\arcsin \frac{1}{4})=\frac{\sqrt{15}}{4}$$