ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 562 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить значение выражения

(4sin2a+5cos2a)/(2sin2a-3cos2a), если ctga=1/3.

Значение $\dfrac{4 \sin 2a + 5 \cos 2a}{2 \sin 2a — 3 \cos 2a}$, если $\operatorname{ctg} a = \dfrac{1}{3}$;

1) Котангенс двойного угла:

$$\operatorname{tg} a = \dfrac{1}{\operatorname{ctg} a} = 3;$$ $$\operatorname{ctg} 2a = \dfrac{1}{\operatorname{tg} 2a} = \dfrac{1 — \operatorname{tg}^2 a}{2 \operatorname{tg} a} = \dfrac{1 — 3^2}{2 \cdot 3} = \dfrac{1 — 9}{6} = \dfrac{-8}{6} = -\dfrac{4}{3};$$

2) Значение выражения:

$$\dfrac{4 \sin 2a + 5 \cos 2a}{2 \sin 2a — 3 \cos 2a} = \dfrac{\dfrac{4 \sin 2a}{\sin 2a} + \dfrac{5 \cos 2a}{\sin 2a}}{\dfrac{2 \sin 2a}{\sin 2a} — \dfrac{3 \cos 2a}{\sin 2a}} = \dfrac{4 + 5 \operatorname{ctg} 2a}{2 — 3 \operatorname{ctg} 2a} = \dfrac{4 + 5 \left( -\dfrac{4}{3} \right)}{2 — 3 \left( -\dfrac{4}{3} \right)} =$$ $$= \dfrac{4 — \dfrac{20}{3}}{2 + 4} = \dfrac{\dfrac{12}{3} — \dfrac{20}{3}}{3 \cdot 6} = \dfrac{-\dfrac{8}{3}}{3 \cdot 3} = -\dfrac{4}{9};$$

Ответ:

$$\boxed{-\dfrac{4}{9}}$$

Вычислить значение выражения

$$\dfrac{4 \sin 2a + 5 \cos 2a}{2 \sin 2a — 3 \cos 2a},$$

если

$$\operatorname{ctg} a = \dfrac{1}{3}.$$

Шаг 1: Найдём $\operatorname{tg} a$

Котангенс и тангенс — взаимно обратные функции:

$$\operatorname{tg} a = \dfrac{1}{\operatorname{ctg} a} = \dfrac{1}{\frac{1}{3}} = 3$$

Шаг 2: Выразим $\operatorname{ctg} 2a$ через $\operatorname{tg} a$

Формула для тангенса двойного угла:

$$\operatorname{tg}(2a) = \dfrac{2 \operatorname{tg} a}{1 — \operatorname{tg}^2 a}$$

Подставим $\operatorname{tg} a = 3$:

$$\operatorname{tg}(2a) = \dfrac{2 \cdot 3}{1 — 3^2} = \dfrac{6}{1 — 9} = \dfrac{6}{-8} = -\dfrac{3}{4}$$

Теперь найдём котангенс:

$$\operatorname{ctg} 2a = \dfrac{1}{\operatorname{tg} 2a} = \dfrac{1}{-\dfrac{3}{4}} = -\dfrac{4}{3}$$

Шаг 3: Преобразуем выражение

Выражение:

$$\dfrac{4 \sin 2a + 5 \cos 2a}{2 \sin 2a — 3 \cos 2a}$$

Разделим числитель и знаменатель на $\sin 2a$, чтобы выразить всё через $\operatorname{ctg} 2a$:

Числитель:

$$\dfrac{4 \sin 2a + 5 \cos 2a}{\sin 2a} = 4 + 5 \cdot \dfrac{\cos 2a}{\sin 2a} = 4 + 5 \cdot \operatorname{ctg} 2a$$

Знаменатель:

$$\dfrac{2 \sin 2a — 3 \cos 2a}{\sin 2a} = 2 — 3 \cdot \dfrac{\cos 2a}{\sin 2a} = 2 — 3 \cdot \operatorname{ctg} 2a$$

Таким образом:

$$\dfrac{4 \sin 2a + 5 \cos 2a}{2 \sin 2a — 3 \cos 2a} = \dfrac{4 + 5 \cdot \operatorname{ctg} 2a}{2 — 3 \cdot \operatorname{ctg} 2a}$$

Шаг 4: Подставим $\operatorname{ctg} 2a = -\dfrac{4}{3}$

Подставим в числитель и знаменатель:

Числитель:

$$4 + 5 \cdot \left(-\dfrac{4}{3}\right) = 4 — \dfrac{20}{3}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$4 = \dfrac{12}{3} \Rightarrow \dfrac{12}{3} — \dfrac{20}{3} = -\dfrac{8}{3}$$

Знаменатель:

$$2 — 3 \cdot \left(-\dfrac{4}{3}\right) = 2 + 4 = 6$$

Шаг 5: Выполняем деление дробей

$$\dfrac{-\dfrac{8}{3}}{6} = -\dfrac{8}{3 \cdot 6} = -\dfrac{8}{18} = -\dfrac{4}{9}$$

Ответ:

$$\boxed{-\dfrac{4}{9}}$$