ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 735 Алимов — Подробные Ответы

С помощью свойства возрастания функции у = tg х сравнить числа:

1. tg пи/5 и tg пи/7;
2. tg 7пи/8 и tg 8пи/9;
3. tg (-7пи/8) и tg -8пи/9);
4. tg (-пи/5) и tg (-пи/7);
5. tg 2 и tg 3;
6. tg 1 и tg 1,5.

Функция $y = \operatorname{tg} x$:

Возрастает на отрезках $\left[-\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n\right]$;

1. $\operatorname{tg} \frac{\pi}{5}$ и $\operatorname{tg} \frac{\pi}{7}$;
   Числа $\frac{\pi}{5}$ и $\frac{\pi}{7}$ принадлежат одному участку возрастания $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$;
   $\frac{\pi}{5} > \frac{\pi}{7}$, следовательно $\operatorname{tg} \frac{\pi}{5} > \operatorname{tg} \frac{\pi}{7}$;
2. $\operatorname{tg} \frac{7\pi}{8}$ и $\operatorname{tg} \frac{8\pi}{9}$;
   Числа $\frac{7\pi}{8}$ и $\frac{8\pi}{9}$ принадлежат одному участку возрастания $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$;
   $\frac{7\pi}{8} < \frac{8\pi}{9}$, следовательно $\operatorname{tg} \frac{7\pi}{8} < \operatorname{tg} \frac{8\pi}{9}$;
3. $\operatorname{tg} \left(-\frac{7\pi}{8}\right)$ и $\operatorname{tg} \left(-\frac{8\pi}{9}\right)$;
   Числа $-\frac{7\pi}{8}$ и $-\frac{8\pi}{9}$ принадлежат одному участку возрастания $\left[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}\right]$;
   $-\frac{7\pi}{8} > -\frac{8\pi}{9}$, следовательно $\operatorname{tg} \left(-\frac{7\pi}{8}\right) > \operatorname{tg} \left(-\frac{8\pi}{9}\right)$;
4. $\operatorname{tg} \left(-\frac{\pi}{5}\right)$ и $\operatorname{tg} \left(-\frac{\pi}{7}\right)$;
   Числа $-\frac{\pi}{5}$ и $-\frac{\pi}{7}$ принадлежат одному участку возрастания $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$;
   $-\frac{\pi}{5} < -\frac{\pi}{7}$, следовательно $\operatorname{tg} \left(-\frac{\pi}{5}\right) < \operatorname{tg} \left(-\frac{\pi}{7}\right)$;
5. $\operatorname{tg} 2$ и $\operatorname{tg} 3$;
   Числа 2 и 3 принадлежат одному участку возрастания $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$;
   $2 < 3$, следовательно $\operatorname{tg} 2 < \operatorname{tg} 3$;
6. $\operatorname{tg} 1$ и $\operatorname{tg} 1,5$;
   Числа 1 и 1,5 принадлежат одному участку возрастания $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$;
   $1 < 1,5$, следовательно $\operatorname{tg} 1 < \operatorname{tg} 1,5$

Функция:

$$y = \operatorname{tg} x$$

Основное свойство:
Функция тангенс возрастает на каждом промежутке вида

$$\left(-\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n\right), \quad n \in \mathbb{Z},$$

где она определена (то есть вне точек разрыва, где $\cos x = 0$).

1) Сравнение $\operatorname{tg} \frac{\pi}{5}$ и $\operatorname{tg} \frac{\pi}{7}$

• Шаг 1: Найдём, к какому промежутку возрастания относятся числа $\frac{\pi}{5}$ и $\frac{\pi}{7}$.

  $$\frac{\pi}{5} \approx 0{,}628 < \frac{\pi}{2} \approx 1{,}5708, \quad \frac{\pi}{7} \approx 0{,}448 < \frac{\pi}{2}.$$

  Они обе лежат в промежутке $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ (возьмём $n=0$).

• Шаг 2: Проверяем порядок чисел:

  $$\frac{\pi}{5} > \frac{\pi}{7}.$$

• Шаг 3: Так как $y=\operatorname{tg} x$ строго возрастает на этом промежутке, то при увеличении аргумента значение функции тоже увеличивается. Следовательно,

  $$\operatorname{tg} \frac{\pi}{5} > \operatorname{tg} \frac{\pi}{7}.$$

2) Сравнение $\operatorname{tg} \frac{7\pi}{8}$ и $\operatorname{tg} \frac{8\pi}{9}$

• Шаг 1: Определим промежуток возрастания для этих чисел.

  $$\frac{7\pi}{8} \approx 2{,}7489, \quad \frac{8\pi}{9} \approx 2{,}7925.$$

  Проверим ближайшие точки разрыва:

  $$\frac{\pi}{2} \approx 1{,}5708, \quad \frac{3\pi}{2} \approx 4{,}7124.$$

  Числа принадлежат промежутку $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)$.

• Шаг 2: Проверим порядок чисел:

  $$\frac{7\pi}{8} < \frac{8\pi}{9}.$$

• Шаг 3: Поскольку функция возрастает на промежутке, где они лежат,

  $$\operatorname{tg} \frac{7\pi}{8} < \operatorname{tg} \frac{8\pi}{9}.$$

3) Сравнение $\operatorname{tg} \left(-\frac{7\pi}{8}\right)$ и $\operatorname{tg} \left(-\frac{8\pi}{9}\right)$

• Шаг 1: Определим промежуток возрастания.

  При $n = -1$, промежуток возрастания:

  $$\left(-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}\right) \approx (-4{,}7124; -1{,}5708).$$

  Проверим, что

  $$-\frac{7\pi}{8} \approx -2{,}7489, \quad -\frac{8\pi}{9} \approx -2{,}7925,$$

  и оба лежат в указанном промежутке.

• Шаг 2: Проверим порядок чисел:

  $$-\frac{7\pi}{8} > -\frac{8\pi}{9}$$

• Шаг 3: Так как функция возрастает на этом промежутке, то большее значение аргумента соответствует большему значению функции:

  $$\operatorname{tg} \left(-\frac{7\pi}{8}\right) > \operatorname{tg} \left(-\frac{8\pi}{9}\right).$$

4) Сравнение $\operatorname{tg} \left(-\frac{\pi}{5}\right)$ и $\operatorname{tg} \left(-\frac{\pi}{7}\right)$

• Шаг 1: Определим промежуток возрастания.

  $$-\frac{\pi}{5} \approx -0{,}628, \quad -\frac{\pi}{7} \approx -0{,}448,$$

  оба лежат в промежутке $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$.

• Шаг 2: Проверим порядок:

  $$-\frac{\pi}{5} < -\frac{\pi}{7}.$$

• Шаг 3: Функция возрастает на этом промежутке, значит, меньшее значение аргумента даёт меньшее значение функции:

  $$\operatorname{tg} \left(-\frac{\pi}{5}\right) < \operatorname{tg} \left(-\frac{\pi}{7}\right).$$

5) Сравнение $\operatorname{tg} 2$ и $\operatorname{tg} 3$

• Шаг 1: Определим промежуток возрастания.

  $$2 \approx 2, \quad 3 \approx 3,$$

  ближайшие точки разрыва:

  $$\frac{\pi}{2} \approx 1{,}5708, \quad \frac{3\pi}{2} \approx 4{,}7124,$$

  следовательно, оба числа лежат в промежутке $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)$.

• Шаг 2: Проверим порядок:

  $$2 < 3.$$

• Шаг 3: Функция возрастает на этом промежутке, значит:

  $$\operatorname{tg} 2 < \operatorname{tg} 3.$$

6) Сравнение $\operatorname{tg} 1$ и $\operatorname{tg} 1,5$

• Шаг 1: Определим промежуток возрастания.

  $$1 \approx 1, \quad 1,5 \approx 1{,}5,$$

  оба лежат в промежутке $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, так как

  $$-\frac{\pi}{2} \approx -1{,}5708, \quad \frac{\pi}{2} \approx 1{,}5708.$$

• Шаг 2: Проверим порядок:

  $$1 < 1{,}5.$$

• Шаг 3: Функция возрастает на этом промежутке, значит:

  $$\operatorname{tg} 1 < \operatorname{tg} 1{,}5.$$