ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 707 Алимов — Подробные Ответы

Пусть функция f (х) определена на всей числовой прямой. Доказать, что:

1. f (х) + f (-х) — чётная функция;
2. f (х) — f (-x) — нечётная функция.

$y(x) = f(x) + f(-x);$

$y(-x) = f(-x) + f(-(-x)) = f(-x) + f(x) = f(x) + f(-x) = y(x);$

Таким образом $y(x)$ — четная функция, что и требовалось доказать.

$y(x) = f(x) — f(-x);$

$y(-x) = f(-x) — f(-(-x)) = f(-x) — f(x) = -(f(x) — f(-x)) = -y(x);$

Таким образом $y(x)$ — нечетная функция, что и требовалось доказать.

1) Доказательство четности функции

$y(x) = f(x) + f(-x)$

Цель: показать, что $y(x)$ — чётная функция, то есть, что выполняется условие
$y(-x) = y(x) \quad \text{для всех } x.$

Шаг 1. Выражение $y(-x)$:

Подставим в определение $y(x)$ значение $-x$ вместо $x$:

$$y(-x) = f(-x) + f(-(-x))$$

Обратите внимание, что $-(-x) = x$, потому что двойное отрицание даёт исходное число:

$$y(-x) = f(-x) + f(x)$$

Шаг 2. Сравнение с $y(x)$:

Функция $y(x)$ по определению равна:

$$y(x) = f(x) + f(-x)$$

Так как сложение коммутативно (порядок слагаемых не важен):

$$f(-x) + f(x) = f(x) + f(-x) = y(x)$$

Вывод:
Для всех $x$ справедливо равенство

$$y(-x) = y(x)$$

что по определению означает, что $y(x)$ — чётная функция.

2) Доказательство нечётности функции

$y(x) = f(x) — f(-x)$

Цель: показать, что $y(x)$ — нечётная функция, то есть, что выполняется условие

$$y(-x) = -y(x) \quad \text{для всех } x.$$

Шаг 1. Выражение $y(-x)$:

Подставим $-x$ вместо $x$ в определение $y(x)$:

$$y(-x) = f(-x) — f(-(-x))$$

Как и ранее, двойное отрицание даёт:

$$y(-x) = f(-x) — f(x)$$

Шаг 2. Выразим $y(-x)$ через $y(x)$:

По определению:

$$y(x) = f(x) — f(-x)$$

Умножим обе части этого равенства на $-1$:

$$— y(x) = — (f(x) — f(-x)) = -f(x) + f(-x) = f(-x) — f(x)$$

Что совпадает с выражением $y(-x)$ из шага 1:

$$y(-x) = f(-x) — f(x) = -y(x)$$

Вывод:
Для всех $x$ справедливо

$$y(-x) = -y(x)$$

что по определению означает, что $y(x)$ — нечётная функция.

Итог:

• Функция $y(x) = f(x) + f(-x)$ является чётной, так как её значение не меняется при замене $x$ на $-x$.
• Функция $y(x) = f(x) — f(-x)$ является нечётной, так как при замене $x$ на $-x$ её значение меняет знак на противоположный.