ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1090 Алимов — Подробные Ответы

Найти значение выражения, предварительно его упростив:

1. C 10/13 + C 11/13;
2. C 12/14 + C 13/14;
3. C 4/19 — C 4/18;
4. C 3/21 — C 3/20;
5. C 3/61 — C 2/60;
6. C 3/71 + C 2/70.

Рекуррентное свойство сочетаний:
$C_{m}^{n} + C_{m}^{n+1} = C_{m+1}^{n+1}, \text{ отсюда } C_{m+1}^{n+1} — C_{m}^{n} = C_{m}^{n+1} \text{ и } C_{m+1}^{n+1} — C_{m}^{n+1} = C_{m}^{n};$

1. $C_{13}^{10} + C_{13}^{11} = C_{14}^{11};$
   $C_{14}^{11} = \frac{14!}{(14-11)! \cdot 11!} = \frac{14!}{3! \cdot 11!} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11!}{3 \cdot 2 \cdot 11!} = 7 \cdot 13 \cdot 4 = 364;$
2. $C_{14}^{12} + C_{14}^{13} = C_{15}^{13};$
   $C_{15}^{13} = \frac{15!}{(15-13)! \cdot 13!} = \frac{15!}{2! \cdot 13!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13!}{2 \cdot 13!} = 15 \cdot 7 = 105;$
3. $C_{19}^{4} — C_{18}^{4} = C_{18}^{3};$
   $C_{18}^{3} = \frac{18!}{(18-3)! \cdot 3!} = \frac{18!}{15! \cdot 3!} = \frac{18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15!}{15! \cdot 3 \cdot 2} = 6 \cdot 17 \cdot 8 = 816;$
4. $C_{21}^{3} — C_{20}^{3} = C_{20}^{2};$
   $C_{20}^{2} = \frac{20!}{(20-2)! \cdot 2!} = \frac{20!}{18! \cdot 2!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18!}{18! \cdot 2} = 10 \cdot 19 = 190;$
5. $C_{61}^{3} — C_{60}^{2} = C_{60}^{3};$
   $C_{60}^{3} = \frac{60!}{(60-3)! \cdot 3!} = \frac{60!}{57! \cdot 3!} = \frac{60 \cdot 59 \cdot 58 \cdot 57!}{57! \cdot 3 \cdot 2} = 20 \cdot 59 \cdot 29 = 34220;$
6. $C_{71}^{3} — C_{70}^{2} = C_{70}^{3};$
   $C_{70}^{3} = \frac{70!}{(70-3)! \cdot 3!} = \frac{70!}{67! \cdot 3!} = \frac{70 \cdot 69 \cdot 68 \cdot 67!}{67! \cdot 3 \cdot 2} = 35 \cdot 23 \cdot 68 = 54740;$

Для решения задачи будем использовать рекуррентное свойство сочетаний, которое гласит:

$$C_{m}^{n} + C_{m}^{n+1} = C_{m+1}^{n+1}$$

из этого свойства можно также получить:

$$C_{m+1}^{n+1} — C_{m}^{n} = C_{m}^{n+1}$$

и

$$C_{m+1}^{n+1} — C_{m}^{n+1} = C_{m}^{n}$$

В данной задаче мы будем использовать эти формулы для вычисления сочетаний. Давайте поочередно разберем каждый из примеров, представленных в задаче.

Пример 1: $C_{13}^{10} + C_{13}^{11} = C_{14}^{11}$

Рассмотрим выражение $C_{13}^{10} + C_{13}^{11}$. Мы можем воспользоваться рекуррентным свойством сочетаний:

$$C_{13}^{10} + C_{13}^{11} = C_{14}^{11}$$

Теперь вычислим $C_{14}^{11}$. Это сочетание 14 объектов по 11:

$$C_{14}^{11} = \frac{14!}{(14-11)! \cdot 11!} = \frac{14!}{3! \cdot 11!}$$

Упростим выражение:

$$C_{14}^{11} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11!}{3! \cdot 11!} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12}{3 \cdot 2 \cdot 1}$$

Вычислим:

$$C_{14}^{11} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12}{6} = \frac{2184}{6} = 364$$

Ответ для примера 1: $C_{14}^{11} = 364$

Пример 2: $C_{14}^{12} + C_{14}^{13} = C_{15}^{13}$

Рассмотрим выражение $C_{14}^{12} + C_{14}^{13}$. Мы можем воспользоваться рекуррентным свойством сочетаний:

$$C_{14}^{12} + C_{14}^{13} = C_{15}^{13}$$

Теперь вычислим $C_{15}^{13}$. Это сочетание 15 объектов по 13:

$$C_{15}^{13} = \frac{15!}{(15-13)! \cdot 13!} = \frac{15!}{2! \cdot 13!}$$

Упростим выражение:

$$C_{15}^{13} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13!}{2! \cdot 13!} = \frac{15 \cdot 14}{2 \cdot 1}$$

Вычислим:

$$C_{15}^{13} = \frac{15 \cdot 14}{2} = \frac{210}{2} = 105$$

Ответ для примера 2: $C_{15}^{13} = 105$

Пример 3: $C_{19}^{4} — C_{18}^{4} = C_{18}^{3}$

Рассмотрим выражение $C_{19}^{4} — C_{18}^{4}$. Мы можем воспользоваться рекуррентным свойством сочетаний:

$$C_{19}^{4} — C_{18}^{4} = C_{18}^{3}$$

Теперь вычислим $C_{18}^{3}$. Это сочетание 18 объектов по 3:

$$C_{18}^{3} = \frac{18!}{(18-3)! \cdot 3!} = \frac{18!}{15! \cdot 3!}$$

Упростим выражение:

$$C_{18}^{3} = \frac{18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15!}{15! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{18 \cdot 17 \cdot 16}{6}$$

Вычислим:

$$C_{18}^{3} = \frac{4896}{6} = 816$$

Ответ для примера 3: $C_{18}^{3} = 816$

Пример 4: $C_{21}^{3} — C_{20}^{3} = C_{20}^{2}$

Рассмотрим выражение $C_{21}^{3} — C_{20}^{3}$. Мы можем воспользоваться рекуррентным свойством сочетаний:

$$C_{21}^{3} — C_{20}^{3} = C_{20}^{2}$$

Теперь вычислим $C_{20}^{2}$. Это сочетание 20 объектов по 2:

$$C_{20}^{2} = \frac{20!}{(20-2)! \cdot 2!} = \frac{20!}{18! \cdot 2!}$$

Упростим выражение:

$$C_{20}^{2} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18!}{18! \cdot 2 \cdot 1} = \frac{20 \cdot 19}{2}$$

Вычислим:

$$C_{20}^{2} = \frac{380}{2} = 190$$

Ответ для примера 4: $C_{20}^{2} = 190$

Пример 5: $C_{61}^{3} — C_{60}^{2} = C_{60}^{3}$

Рассмотрим выражение $C_{61}^{3} — C_{60}^{2}$. Мы можем воспользоваться рекуррентным свойством сочетаний:

$$C_{61}^{3} — C_{60}^{2} = C_{60}^{3}$$

Теперь вычислим $C_{60}^{3}$. Это сочетание 60 объектов по 3:

$$C_{60}^{3} = \frac{60!}{(60-3)! \cdot 3!} = \frac{60!}{57! \cdot 3!}$$

Упростим выражение:

$$C_{60}^{3} = \frac{60 \cdot 59 \cdot 58 \cdot 57!}{57! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{60 \cdot 59 \cdot 58}{6}$$

Вычислим:

$$C_{60}^{3} = \frac{205920}{6} = 34220$$

Ответ для примера 5: $C_{60}^{3} = 34220$

Пример 6: $C_{71}^{3} — C_{70}^{2} = C_{70}^{3}$

Рассмотрим выражение $C_{71}^{3} — C_{70}^{2}$. Мы можем воспользоваться рекуррентным свойством сочетаний:

$$C_{71}^{3} — C_{70}^{2} = C_{70}^{3}$$

Теперь вычислим $C_{70}^{3}$. Это сочетание 70 объектов по 3:

$$C_{70}^{3} = \frac{70!}{(70-3)! \cdot 3!} = \frac{70!}{67! \cdot 3!}$$

Упростим выражение:

$$C_{70}^{3} = \frac{70 \cdot 69 \cdot 68 \cdot 67!}{67! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{70 \cdot 69 \cdot 68}{6}$$

Вычислим:

$$C_{70}^{3} = \frac{331680}{6} = 54740$$

Ответ для примера 6: $C_{70}^{3} = 54740$

Итоговые ответы:

1. $C_{14}^{11} = 364$
2. $C_{15}^{13} = 105$
3. $C_{18}^{3} = 816$
4. $C_{20}^{2} = 190$
5. $C_{60}^{3} = 34220$
6. $C_{70}^{3} = 54740$