ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1000 Алимов — Подробные Ответы

Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х = а, х = b осью Ох и графиком функции у = f (х):

1. а = 2, b = 4, f (х) = х3;
2. а = 3,b = 4, f (х) = х2;
3. а=-2, f(x) = 1, f(x) = x2+ 1;
4. а = 0, b = 2, f(х) = х3 + 1;
5. а= пи/3, b = 2пи/3, f(x) = sinx;
6. а = -пи/6, b = 0, f (z) = cos х.

1) $a=2$, $b=4$ и $f(x)=x^3$;

Первообразная функции:

$$F(x)=\frac{x^4}{4}+C;$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S={\int }_2^4{x}^{3}dx=F(4)-F(2)=\frac{4^4}{4}-\frac{2^4}{4}=\frac{256-16}{4}=\frac{240}{4}=60;$$

Ответ: 60.

2) $a=3$, $b=4$ и $f(x)=x^2$;

Первообразная функции:

$$F(x)=\frac{x^3}{3}+C;$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S={\int }_3^4{x}^{2}dx=F(4)-F(3)=\frac{4^3}{3}-\frac{3^3}{3}=\frac{64-27}{3}=\frac{37}{3}=12\frac{1}{3};$$

Ответ: $12\frac{1}{3}$.

3) $a=-2$, $b=1$ и $f(x)=x^2+1$;

Первообразная функции:

$$F(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{x^1}{1}=\frac{x^3}{3}+x+C;$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S={\int }_{-2}^1(x^2+1)dx=F(1)-F(-2);$$$$S=(\frac{1^3}{3}+1)-(\frac{(-2{)}^3}{3}+(-2))=\frac{1}{3}+1-(\frac{-8}{3}-2)=$$

$$=\frac{1}{3}+1+\frac{8}{3}+2=\frac{1+8}{3}+3=\frac{9}{3}+3=3+3=6;$$

Ответ: 6.

4) $a=0$, $b=2$ и $f(x)=x^3+1$;

Первообразная функции:

$$F(x)=\frac{x^4}{4}+\frac{x^1}{1}=\frac{x^4}{4}+x+C;$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S={\int }_0^2(x^3+1)dx=F(2)-F(0);$$$$S=(\frac{2^4}{4}+2)-(\frac{0^4}{4}+0)=\frac{16}{4}+2-0=4+2=6;$$

Ответ: 6.

5) $a=\frac{\pi }{3}$, $b=\frac{2\pi }{3}$ и $f(x)=\sin x$;

Первообразная функции:

$$F(x)=-\cos x+C;$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S={\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{2\pi }{3}}\sin xdx=F\left(\frac{2\pi }{3}\right)-F\left(\frac{\pi }{3}\right);$$$$S=-\cos \frac{2\pi }{3}+\cos \frac{\pi }{3}=-(-\frac{1}{2})+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1;$$

Ответ: 1.

6) $a=-\frac{\pi }{6}$, $b=0$, $f(x)=\cos x$;

Первообразная функции:

$$F(x)=\sin x+C;$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S={\int }_{-\frac{\pi }{6}}^0\cos xdx=F(0)-F(-\frac{\pi }{6});$$$$S=\sin 0-\sin (-\frac{\pi }{6})=0+\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2};$$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

1) $a=2$, $b=4$ и $f(x)=x^3$.

Нужно найти первообразную функции $f(x)=x^3$ на интервале $[2,4]$, а затем вычислить площадь криволинейной трапеции.

Шаг 1: Нахождение первообразной функции

Для нахождения первообразной функции $f(x)=x^3$, используем стандартное правило для интегрирования степенных функций:

$$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1},n\mathrm{\ne }-1.$$

В нашем случае $n=3$, поэтому первообразная будет:

$$F(x)=\frac{x^4}{4}+C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Шаг 2: Вычисление площади криволинейной трапеции

Площадь криволинейной трапеции на интервале $[2,4]$ можно найти с помощью определённого интеграла:

$$S={\int }_2^4{x}^{3}dx\mathrm{.}$$

Для вычисления этого интеграла воспользуемся полученной первообразной $F(x)=\frac{x^4}{4}$. Согласно основному свойству определённого интеграла, площадь будет равна разности значений первообразной в пределах интегрирования:

$$S=F(4)-F(2)=\left(\frac{4^4}{4}\right)-\left(\frac{2^4}{4}\right)\mathrm{.}$$

Вычислим:

$$F(4)=\frac{4^4}{4}=\frac{256}{4}=64,$$$$F(2)=\frac{2^4}{4}=\frac{16}{4}=4.$$

Теперь, подставив значения, получаем:

$$S=64-4=60.$$

Ответ:

$$S=60.$$

2) $a=3$, $b=4$ и $f(x)=x^2$.

Нужно найти первообразную функции $f(x)=x^2$ на интервале $[3,4]$, а затем вычислить площадь криволинейной трапеции.

Шаг 1: Нахождение первообразной функции

Для нахождения первообразной функции $f(x)=x^2$, используем стандартное правило для интегрирования степенных функций:

$$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1},n\mathrm{\ne }-1.$$

В данном случае $n=2$, поэтому первообразная будет:

$$F(x)=\frac{x^3}{3}+C\mathrm{.}$$

Шаг 2: Вычисление площади криволинейной трапеции

Площадь криволинейной трапеции на интервале $[3,4]$ можно найти с помощью определённого интеграла:

$$S={\int }_3^4{x}^{2}dx\mathrm{.}$$

Для вычисления этого интеграла воспользуемся полученной первообразной $F(x)=\frac{x^3}{3}$. Согласно основному свойству определённого интеграла, площадь будет равна разности значений первообразной в пределах интегрирования:

$$S=F(4)-F(3)=\left(\frac{4^3}{3}\right)-\left(\frac{3^3}{3}\right)\mathrm{.}$$

Вычислим:

$$F(4)=\frac{4^3}{3}=\frac{64}{3},$$$$F(3)=\frac{3^3}{3}=\frac{27}{3}=9.$$

Теперь, подставив значения, получаем:

$$S=\frac{64}{3}-9=\frac{64}{3}-\frac{27}{3}=\frac{37}{3}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$S=\frac{37}{3}=12\frac{1}{3}\mathrm{.}$$

3) $a=-2$, $b=1$ и $f(x)=x^2+1$.

Нужно найти первообразную функции $f(x)=x^2+1$ на интервале $[-2,1]$, а затем вычислить площадь криволинейной трапеции.

Шаг 1: Нахождение первообразной функции

Для нахождения первообразной функции $f(x)=x^2+1$, интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

$$\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3},\int 1dx=x\mathrm{.}$$

Таким образом, первообразная будет:

$$F(x)=\frac{x^3}{3}+x+C\mathrm{.}$$

Шаг 2: Вычисление площади криволинейной трапеции

Площадь криволинейной трапеции на интервале $[-2,1]$ можно найти с помощью определённого интеграла:

$$S={\int }_{-2}^1(x^2+1)dx\mathrm{.}$$

Используя первообразную $F(x)=\frac{x^3}{3}+x$, находим площадь:

$$S=F(1)-F(-2)\mathrm{.}$$

Подставляем значения:

$$F(1)=\frac{1^3}{3}+1=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3},$$$$F(-2)=\frac{(-2{)}^3}{3}+(-2)=\frac{-8}{3}-2=\frac{-8}{3}-\frac{6}{3}=\frac{-14}{3}\mathrm{.}$$

Теперь, подставляем значения:

$$S=\frac{4}{3}-\frac{-14}{3}=\frac{4}{3}+\frac{14}{3}=\frac{18}{3}=6.$$

Ответ:

$$S=6.$$

4) $a=0$, $b=2$ и $f(x)=x^3+1$.

Нужно найти первообразную функции $f(x)=x^3+1$ на интервале $[0,2]$, а затем вычислить площадь криволинейной трапеции.

Шаг 1: Нахождение первообразной функции

Для нахождения первообразной функции $f(x)=x^3+1$, интегрируем каждое слагаемое:

$$\int x^{3}dx=\frac{x^4}{4},\int 1dx=x\mathrm{.}$$

Таким образом, первообразная будет:

$$F(x)=\frac{x^4}{4}+x+C\mathrm{.}$$

Шаг 2: Вычисление площади криволинейной трапеции

Площадь криволинейной трапеции на интервале $[0,2]$ можно найти с помощью определённого интеграла:

$$S={\int }_0^2(x^3+1)dx\mathrm{.}$$

Используя первообразную $F(x)=\frac{x^4}{4}+x$, находим площадь:

$$S=F(2)-F(0)\mathrm{.}$$

Подставляем значения:

$$F(2)=\frac{2^4}{4}+2=\frac{16}{4}+2=4+2=6,$$$$F(0)=\frac{0^4}{4}+0=0.$$

Теперь, подставляем значения:

$$S=6-0=6.$$

Ответ:

$$S=6.$$

5) $a=\frac{\pi }{3}$, $b=\frac{2\pi }{3}$ и $f(x)=\sin x$.

Нужно найти первообразную функции $f(x)=\sin x$ на интервале $[\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}]$, а затем вычислить площадь криволинейной трапеции.

Шаг 1: Нахождение первообразной функции

Для нахождения первообразной функции $f(x)=\sin x$, используем стандартное правило:

$$\int \sin xdx=-\cos x+C\mathrm{.}$$

Шаг 2: Вычисление площади криволинейной трапеции

Площадь криволинейной трапеции на интервале $[\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}]$ можно найти с помощью определённого интеграла:

$$S={\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{2\pi }{3}}\sin xdx=F\left(\frac{2\pi }{3}\right)-F\left(\frac{\pi }{3}\right)\mathrm{.}$$

Подставляем значения:

$$F\left(\frac{2\pi }{3}\right)=-\cos \frac{2\pi }{3}=-(-\frac{1}{2})=\frac{1}{2},$$$$F\left(\frac{\pi }{3}\right)=-\cos \frac{\pi }{3}=-\frac{1}{2}\mathrm{.}$$

Теперь, подставляем значения:

$$S=\frac{1}{2}-(-\frac{1}{2})=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1.$$

Ответ:

$$S=1.$$

6) $a=-\frac{\pi }{6}$, $b=0$, $f(x)=\cos x$.

Нужно найти первообразную функции $f(x)=\cos x$ на интервале $[-\frac{\pi }{6},0]$, а затем вычислить площадь криволинейной трапеции.

Шаг 1: Нахождение первообразной функции

Для нахождения первообразной функции $f(x)=\cos x$, используем стандартное правило:

$$\int \cos xdx=\sin x+C\mathrm{.}$$

Шаг 2: Вычисление площади криволинейной трапеции

Площадь криволинейной трапеции на интервале $[-\frac{\pi }{6},0]$ можно найти с помощью определённого интеграла:

$$S={\int }_{-\frac{\pi }{6}}^0\cos xdx=F(0)-F(-\frac{\pi }{6})\mathrm{.}$$

Подставляем значения:

$$F(0)=\sin 0=0,$$$$F(-\frac{\pi }{6})=\sin (-\frac{\pi }{6})=-\frac{1}{2}\mathrm{.}$$

Теперь, подставляем значения:

$$S=0-(-\frac{1}{2})=\frac{1}{2}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$S=\frac{1}{2}\mathrm{.}$$