ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 953 Алимов — Подробные Ответы

Найти f»(x), если:

1. f (x) = х2 cos x;
2. f (x) = x3 sin x;
3. f (x) = x5 + 2×3 — x2 + 2;
4. f (x) = x4 — 3х3 + 5x + 6.

1) $f(x) = x^2 \cdot \cos x$;

Первая производная:

$$f'(x) = (x^2)’ \cdot \cos x + x^2 \cdot (\cos x)’;$$ $$f'(x) = 2x \cdot \cos x — x^2 \cdot \sin x;$$

Вторая производная:

$$f»(x) = (2x)’ \cdot \cos x + 2x \cdot (\cos x)’ — (x^2)’ \cdot \sin x — x^2 \cdot (\sin x)’;$$ $$f»(x) = 2 \cdot \cos x — 2x \cdot \sin x — 2x \cdot \sin x — x^2 \cdot \cos x;$$ $$f»(x) = (2 — x^2) \cdot \cos x — 4x \cdot \sin x;$$

2) $f(x) = x^3 \cdot \sin x$;

Первая производная:

$$f'(x) = (x^3)’ \cdot \sin x + x^3 \cdot (\sin x)’;$$ $$f'(x) = 3x^2 \cdot \sin x + x^3 \cdot \cos x;$$

Вторая производная:

$$f»(x) = (3x^2)’ \cdot \sin x + 3x^2 \cdot (\sin x)’ + (x^3)’ \cdot \cos x + x^3 \cdot (\cos x)’;$$ $$f»(x) = 6x \cdot \sin x + 3x^2 \cdot \cos x + 3x^2 \cdot \cos x — x^3 \cdot \sin x;$$ $$f»(x) = (6x — x^3) \cdot \sin x + 6x^2 \cdot \cos x;$$

3) $f(x) = x^5 + 2x^3 — x^2 + 2$;

Первая производная:

$$f'(x) = (x^5)’ + 2 \cdot (x^3)’ — (x^2)’ + (2)’;$$ $$f'(x) = 5x^4 + 2 \cdot 3x^2 — 2x + 0 = 5x^4 + 6x^2 — 2x;$$

Вторая производная:

$$f»(x) = 5 \cdot (x^4)’ + 6 \cdot (x^2)’ — (2x)’;$$ $$f»(x) = 5 \cdot 4x^3 + 6 \cdot 2x — 2 = 20x^3 + 12x — 2;$$

4) $f(x) = x^4 — 3x^3 + 5x + 6$;

Первая производная:

$$f'(x) = (x^4)’ — 3 \cdot (x^3)’ + (5x + 6)’;$$ $$f'(x) = 4x^3 — 3 \cdot 3x^2 + 5 = 4x^3 — 9x^2 + 5;$$

Вторая производная:

$$f»(x) = 4 \cdot (x^3)’ — 9 \cdot (x^2)’ + (5)’;$$ $$f»(x) = 4 \cdot 3x^2 — 9 \cdot 2x + 0 = 12x^2 — 18x;$$

1. $f(x) = x^2 \cdot \cos x$

Первая производная

Используем правило произведения:

$$(f \cdot g)’ = f’ \cdot g + f \cdot g’$$

Пусть:

• $f(x) = x^2$, $f'(x) = 2x$
• $g(x) = \cos x$, $g'(x) = -\sin x$

Тогда:

$$f'(x) = 2x \cdot \cos x + x^2 \cdot (-\sin x) = 2x \cos x — x^2 \sin x$$

Вторая производная

Берём производную от $f'(x) = 2x \cos x — x^2 \sin x$

Первая часть: $(2x \cos x)’$

Снова правило произведения:

• $u = 2x$, $u’ = 2$
• $v = \cos x$, $v’ = -\sin x$

$$(2x \cos x)’ = 2 \cdot \cos x + 2x \cdot (-\sin x) = 2 \cos x — 2x \sin x$$

Вторая часть: $(x^2 \sin x)’$

• $u = x^2$, $u’ = 2x$
• $v = \sin x$, $v’ = \cos x$

$$(x^2 \sin x)’ = 2x \cdot \sin x + x^2 \cdot \cos x$$

Теперь:

$$f»(x) = [2 \cos x — 2x \sin x] — [2x \sin x + x^2 \cos x]$$ $$f»(x) = 2 \cos x — 4x \sin x — x^2 \cos x$$

Или окончательно:

$$f»(x) = (2 — x^2) \cos x — 4x \sin x$$

2. $f(x) = x^3 \cdot \sin x$

Первая производная

Правило произведения:

• $f(x) = x^3$, $f'(x) = 3x^2$
• $g(x) = \sin x$, $g'(x) = \cos x$

$$f'(x) = 3x^2 \cdot \sin x + x^3 \cdot \cos x$$

Вторая производная

Берём производную от:

$$f'(x) = 3x^2 \sin x + x^3 \cos x$$

Первая часть: $(3x^2 \sin x)’$

• $u = 3x^2$, $u’ = 6x$
• $v = \sin x$, $v’ = \cos x$

$$(3x^2 \sin x)’ = 6x \cdot \sin x + 3x^2 \cdot \cos x$$

Вторая часть: $(x^3 \cos x)’$

• $u = x^3$, $u’ = 3x^2$
• $v = \cos x$, $v’ = -\sin x$

$$(x^3 \cos x)’ = 3x^2 \cdot \cos x — x^3 \cdot \sin x$$

Теперь:

$$f»(x) = [6x \sin x + 3x^2 \cos x] + [3x^2 \cos x — x^3 \sin x]$$ $$f»(x) = (6x — x^3) \cdot \sin x + 6x^2 \cdot \cos x$$

3. $f(x) = x^5 + 2x^3 — x^2 + 2$

Первая производная

Применяем правило:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^5) + \frac{d}{dx}(2x^3) — \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(2)$$ $$f'(x) = 5x^4 + 6x^2 — 2x + 0 = 5x^4 + 6x^2 — 2x$$

Вторая производная

$$f»(x) = \frac{d}{dx}(5x^4 + 6x^2 — 2x)$$ $$f»(x) = 20x^3 + 12x — 2$$

4. $f(x) = x^4 — 3x^3 + 5x + 6$

Первая производная

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4) — 3 \cdot \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(5x) + \frac{d}{dx}(6)$$ $$f'(x) = 4x^3 — 9x^2 + 5$$

Вторая производная

$$f»(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 — 9x^2 + 5)$$ $$f»(x) = 12x^2 — 18x$$

$$f'(x) = 4x^3 — 9x^2 + 5 \\ f»(x) = 12x^2 — 18x$$