ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1029 Алимов — Подробные Ответы

Показать, что функция у = Сх coswх + С2 sinwх при любых значениях С1 и С2 является решением дифференциального уравнения у» + w2у = 0.

Функция $y = C_1 \cdot \cos \omega x + C_2 \cdot \sin \omega x$ является решением уравнения $y» + \omega^2 \cdot y = 0$.

Первая производная:

$$y'(x) = C_1 \cdot (\cos \omega x)’ + C_2 \cdot (\sin \omega x)’;$$ $$y'(x) = C_1 \cdot \omega \cdot (-\sin \omega x) + C_2 \cdot \omega \cdot \cos \omega x;$$ $$y'(x) = C_2 \omega \cdot \cos \omega x — C_1 \omega \cdot \sin \omega x;$$

Вторая производная:

$$y»(x) = C_2 \omega \cdot (\cos \omega x)’ — C_1 \omega \cdot (\sin \omega x)’;$$ $$y»(x) = C_2 \omega \cdot \omega \cdot (-\sin \omega x) — C_1 \omega \cdot \omega \cdot \cos \omega x;$$ $$y»(x) = -\omega^2 \cdot (C_1 \cdot \cos \omega x + C_2 \cdot \sin \omega x);$$

Таким образом:

$$y» = -\omega^2 \cdot y,\quad\text{следовательно,}\quad y» + \omega^2 \cdot y = 0;$$

Шаг 1. Исходные данные и цель проверки

Рассмотрим функцию:

$$y(x) = C_1 \cos(\omega x) + C_2 \sin(\omega x),$$

где $C_1$, $C_2$ — произвольные постоянные, а $\omega$ — заданная постоянная величина.

Необходимо проверить, удовлетворяет ли эта функция дифференциальному уравнению второго порядка:

$$y» + \omega^2 y = 0.$$

Шаг 2. Найдём первую производную функции $y(x)$

Записываем явно производную по переменной $x$:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}\left[C_1 \cos(\omega x) + C_2 \sin(\omega x)\right].$$

Используя линейность производной, вычисляем отдельно производные каждого слагаемого:

$$y'(x) = C_1 \frac{d}{dx}[\cos(\omega x)] + C_2 \frac{d}{dx}[\sin(\omega x)].$$

Шаг 3. Дифференцируем отдельно каждую функцию:

• Производная косинуса по аргументу:

$$(\cos(\omega x))’ = -\sin(\omega x)\cdot\omega = -\omega\sin(\omega x).$$

• Производная синуса по аргументу:

$$(\sin(\omega x))’ = \cos(\omega x)\cdot\omega = \omega\cos(\omega x).$$

Подставим эти результаты обратно в выражение для $y'(x)$:

$$y'(x) = C_1(-\omega\sin(\omega x)) + C_2(\omega\cos(\omega x)).$$

Перегруппируем и упростим запись:

$$y'(x) = -C_1 \omega \sin(\omega x) + C_2 \omega \cos(\omega x).$$

Шаг 4. Найдём вторую производную $y»(x)$

Теперь найдём вторую производную, продифференцировав уже найденную первую производную:

$$y»(x) = \frac{d}{dx}\left[-C_1 \omega \sin(\omega x) + C_2 \omega \cos(\omega x)\right].$$

Опять же, дифференцируем отдельно каждое слагаемое:

$$y»(x) = -C_1 \omega \frac{d}{dx}[\sin(\omega x)] + C_2 \omega \frac{d}{dx}[\cos(\omega x)].$$

Шаг 5. Выполним дифференцирование каждого из слагаемых:

• Производная синуса:

$$(\sin(\omega x))’ = \omega \cos(\omega x).$$

• Производная косинуса:

$$(\cos(\omega x))’ = -\omega \sin(\omega x).$$

Подставим в выражение для второй производной:

$$y»(x) = -C_1 \omega (\omega \cos(\omega x)) + C_2 \omega (-\omega \sin(\omega x)).$$

Шаг 6. Упростим вторую производную

Вынесем общий множитель $\omega^2$:

$$y»(x) = -C_1 \omega^2 \cos(\omega x) — C_2 \omega^2 \sin(\omega x).$$

Вынесем $-\omega^2$ за скобки:

$$y»(x) = -\omega^2(C_1 \cos(\omega x) + C_2 \sin(\omega x)).$$

Заметим, что выражение в скобках совпадает с исходной функцией $y(x)$:

$$y»(x) = -\omega^2 y(x).$$

Шаг 7. Проверка уравнения

Теперь подставим полученное выражение для $y»(x)$ в исходное уравнение:

$$y» + \omega^2 y = 0.$$

Подставляем:

$$(-\omega^2 y) + \omega^2 y = 0.$$

Сокращаем одинаковые слагаемые:

$$0 = 0.$$

Шаг 8. Анализ результата

Мы получили тождественно верное равенство $0=0$. Это означает, что любая функция вида:

$$y(x) = C_1 \cos(\omega x) + C_2 \sin(\omega x),$$

действительно является решением дифференциального уравнения:

$$y» + \omega^2 y = 0.$$

Заключительный шаг (Шаг 9). Итоговый вывод решения:

Функция вида:

$$y(x) = C_1 \cos(\omega x) + C_2 \sin(\omega x)$$

доказанно удовлетворяет заданному уравнению, так как:

$$y» = -\omega^2 y \quad \Rightarrow \quad y» + \omega^2 y = 0.$$

Шаг 10. Финальный подробный вывод (Итог):

Мы детально доказали, что функция:

$$y(x) = C_1 \cos(\omega x) + C_2 \sin(\omega x)$$

является общим решением уравнения:

$$y» + \omega^2 y = 0,$$

путём последовательного дифференцирования и подстановки, проверив каждое действие, и придя к идентичному нулю. Решение верно и полностью подтверждено.

Итоговое решение подтверждено:

$$y» + \omega^2 y = 0.$$