ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 926 Алимов — Подробные Ответы

Построить график функции (926—927).

1. у = х3 — 3х2 + 4;
2. у = 2 + 3х — х3;
3. у = -х3 + 4х2 — 4х;
4. у = х3 + 6х2 + 9х.

1) $y = x^3 — 3x^2 + 4$

а) Область определения:
$D(x) = (-\infty; +\infty)$

б) Производная функции:
$y'(x) = (x^3)’ — 3 \cdot (x^2)’ + (4)’$
$y'(x) = 3x^2 — 3 \cdot 2x + 0 = 3x^2 — 6x$

в) Стационарные точки:
$3x^2 — 6x = 0$
$3x \cdot (x — 2) = 0$
$x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = 2$

г) Значения функции:
$f(2) = 2^3 — 3 \cdot 2^2 + 4 = 8 — 12 + 4 = 0$
$f(0) = 0^2 — 3 \cdot 0^2 + 4 = 4$

д) Промежутки монотонности:

• Возрастает на $(-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$
• Убывает на $(0; 2)$
• $x = 2$ — точка минимума
• $x = 0$ — точка максимума

е) Таблица свойств функции:

2) $y = 2 + 3x — x^3$

а) Область определения:
$D(x) = (-\infty; +\infty)$

б) Производная функции:
$y'(x) = (2)’ + (3x)’ — (x^3)’$
$y'(x) = 0 + 3 — 3x^2 = 3 — 3x^2$

в) Стационарные точки:
$3 — 3x^2 = 0$
$1 — x^2 = 0$
$(1 — x)(1 + x) = 0$
$x_1 = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = -1$

г) Значения функции:
$f(-1) = 2 + 3 \cdot (-1) — (-1)^3 = 2 — 3 + 1 = 0$
$f(1) = 2 + 3 \cdot 1 — 1^3 = 2 + 3 — 1 = 4$

д) Промежутки монотонности:

• Возрастает на $(-1; 1)$
• Убывает на $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$
• $x = -1$ — точка минимума
• $x = 1$ — точка максимума

е) Таблица свойств функции:

3) $y = -x^3 + 4x^2 — 4x$

а) Область определения:
$D(x) = (-\infty; +\infty)$

б) Производная функции:
$y'(x) = -(x^3)’ + 4 \cdot (x^2)’ — (4x)’$
$y'(x) = -3x^2 + 4 \cdot 2x — 4 = -3x^2 + 8x — 4$

в) Стационарные точки:
$-3x^2 + 8x — 4 = 0$
$D = 8^2 — 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 — 48 = 16$
Тогда:
$x_1 = \frac{-8 + 4}{2 \cdot (-3)} = \frac{12}{6} = 2$
$x_2 = \frac{-8 — 4}{2 \cdot (-3)} = \frac{-12}{-6} = 2$
$-(x — \frac{2}{3})(x — 2) = 0$

г) Значения функции:
$f\left(\frac{2}{3}\right) = -\left(\frac{2}{3}\right)^3 + 4 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 — 4 \cdot \frac{2}{3}$
$= -\frac{8}{27} + \frac{16}{9} — \frac{8}{3} = -\frac{8}{27} + \frac{48}{27} — \frac{72}{27} = -\frac{32}{27} = -1 \frac{5}{27}$
$f(2) = -2^3 + 4 \cdot 2^2 — 4 \cdot 2 = -8 + 16 — 8 = 0$

д) Промежутки монотонности:

• Возрастает на $\left(\frac{2}{3}; 2\right)$
• Убывает на $\left(-\infty; \frac{2}{3}\right) \cup (2; +\infty)$
• $x = \frac{2}{3}$ — точка минимума
• $x = 2$ — точка максимума

е) Таблица свойств функции:

4) $y = x^3 + 6x^2 + 9x$

а) Область определения:
$D(x) = (-\infty; +\infty)$

б) Производная функции:
$y'(x) = (x^3)’ + 6 \cdot (x^2)’ + (9x)’$
$y'(x) = 3x^2 + 6 \cdot 2x + 9 = 3x^2 + 12x + 9$

в) Стационарные точки:
$3x^2 + 12x + 9 = 0$
$x^2 + 4x + 3 = 0$
$D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$
Тогда:
$x_1 = \frac{-4 — 2}{2} = -3$
$x_2 = \frac{-4 + 2}{2} = -1$
$(x + 3)(x + 1) = 0$

г) Значения функции:
$f(-3) = (-3)^3 + 6 \cdot (-3)^2 + 9 \cdot (-3)$
$= -27 + 54 — 27 = 0$
$f(-1) = (-1)^3 + 6 \cdot (-1)^2 + 9 \cdot (-1)$
$= -1 + 6 — 9 = -4$

д) Промежутки монотонности:

• Возрастает на $(-\infty; -3) \cup (-1; +\infty)$
• Убывает на $(-3; -1)$
• $x = -1$ — точка минимума
• $x = -3$ — точка максимума

е) Таблица свойств функции:

1) $y = x^3 — 3x^2 + 4$

а) Область определения:

Это полиномиальная функция, и полиномиальные функции определены на всей числовой прямой. Значит, область определения данной функции:

Ответ:

$$D(x) = (-\infty; +\infty)$$

б) Производная функции:

Для нахождения производной используем стандартные правила дифференцирования:

• Производная $x^3$ равна $3x^2$,
• Производная $x^2$ равна $2x$,
• Производная константы (в данном случае 4) равна 0.

Тогда производная функции $y = x^3 — 3x^2 + 4$ будет:

$$y'(x) = (x^3)’ — 3 \cdot (x^2)’ + (4)’ = 3x^2 — 6x + 0 = 3x^2 — 6x$$

Ответ:

$$y'(x) = 3x^2 — 6x$$

в) Стационарные точки:

Стационарные точки — это точки, в которых производная функции равна нулю. То есть нужно решить уравнение:

$$y'(x) = 3x^2 — 6x = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$3x(x — 2) = 0$$

Решение этого уравнения:

$$x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = 2$$

Ответ:
Стационарные точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

г) Значения функции в стационарных точках:

Теперь подставим значения $x = 0$ и $x = 2$ в исходную функцию $y = x^3 — 3x^2 + 4$, чтобы найти значения функции в этих точках.

Для $x = 0$:

$$f(0) = 0^3 — 3 \cdot 0^2 + 4 = 4$$

Для $x = 2$:

$$f(2) = 2^3 — 3 \cdot 2^2 + 4 = 8 — 12 + 4 = 0$$

Ответ:
Значения функции:

• $f(0) = 4$
• $f(2) = 0$

д) Промежутки монотонности:

Чтобы определить, на каких интервалах функция возрастает или убывает, нужно исследовать знак производной $y'(x) = 3x^2 — 6x$.

Для $x \in (-\infty; 0)$:
Подставим значение $x = -1$ в производную:

$$y'(-1) = 3(-1)^2 — 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0$$

Это значит, что на интервале $(-\infty; 0)$ функция возрастает.

Для $x \in (0; 2)$:
Подставим значение $x = 1$ в производную:

$$y'(1) = 3(1)^2 — 6(1) = 3 — 6 = -3 < 0$$

Это говорит о том, что на интервале $(0; 2)$ функция убывает.

Для $x \in (2; +\infty)$:
Подставим значение $x = 3$ в производную:

$$y'(3) = 3(3)^2 — 6(3) = 27 — 18 = 9 > 0$$

Это значит, что на интервале $(2; +\infty)$ функция снова возрастает.

Ответ:

• Функция возрастает на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(2; +\infty)$.
• Функция убывает на интервале $(0; 2)$.
• $x = 0$ — точка максимума.
• $x = 2$ — точка минимума.

е) Таблица свойств функции:

2) $y = 2 + 3x — x^3$

а) Область определения:

Это полиномиальная функция, и полиномиальные функции определены на всей числовой прямой.
Ответ:

$$D(x) = (-\infty; +\infty)$$

б) Производная функции:

Найдем производную функции $y = 2 + 3x — x^3$:

• Производная $2$ равна 0,
• Производная $3x$ равна 3,
• Производная $x^3$ равна $3x^2$.

Таким образом:

$$y'(x) = 0 + 3 — 3x^2 = 3 — 3x^2$$

Ответ:

$$y'(x) = 3 — 3x^2$$

в) Стационарные точки:

Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю:

$$3 — 3x^2 = 0$$ $$1 — x^2 = 0$$ $$(1 — x)(1 + x) = 0$$

Таким образом, получаем два значения:

$$x_1 = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = -1$$

Ответ:
Стационарные точки: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

г) Значения функции в стационарных точках:

Теперь подставим $x = -1$ и $x = 1$ в исходную функцию $y = 2 + 3x — x^3$, чтобы найти значения функции в этих точках.

Для $x = -1$:

$$f(-1) = 2 + 3(-1) — (-1)^3 = 2 — 3 + 1 = 0$$

Для $x = 1$:

$$f(1) = 2 + 3(1) — (1)^3 = 2 + 3 — 1 = 4$$

Ответ:
Значения функции:

• $f(-1) = 0$
• $f(1) = 4$

д) Промежутки монотонности:

Для анализа монотонности исследуем знак производной $y'(x) = 3 — 3x^2$.

Для $x \in (-\infty; -1)$:
Подставим $x = -2$:

$$y'(-2) = 3 — 3(-2)^2 = 3 — 12 = -9 < 0$$

Это значит, что функция убывает на интервале $(-\infty; -1)$.

Для $x \in (-1; 1)$:
Подставим $x = 0$:

$$y'(0) = 3 — 3(0)^2 = 3 > 0$$

Это говорит о том, что функция возрастает на интервале $(-1; 1)$.

Для $x \in (1; +\infty)$:
Подставим $x = 2$:

$$y'(2) = 3 — 3(2)^2 = 3 — 12 = -9 < 0$$

Это значит, что функция убывает на интервале $(1; +\infty)$.

Ответ:

• Функция возрастает на интервале $(-1; 1)$.
• Функция убывает на интервалах $(-\infty; -1)$ и $(1; +\infty)$.
• $x = -1$ — точка минимума.
• $x = 1$ — точка максимума.

е) Таблица свойств функции:

3) $y = -x^3 + 4x^2 — 4x$

а) Область определения:

Полиномиальная функция определена на всей числовой прямой.
Ответ:

$$D(x) = (-\infty; +\infty)$$

б) Производная функции:

Найдем производную функции $y = -x^3 + 4x^2 — 4x$:

$$y'(x) = -(x^3)’ + 4 \cdot (x^2)’ — (4x)’ = -3x^2 + 8x — 4$$

Ответ:

$$y'(x) = -3x^2 + 8x — 4$$

в) Стационарные точки:

Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю:

$$-3x^2 + 8x — 4 = 0$$

Решаем это квадратное уравнение:

$$D = 8^2 — 4 \cdot (-3) \cdot (-4) = 64 — 48 = 16$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-8 + \sqrt{16}}{-6} = 2$$ $$x_2 = \frac{-8 — \sqrt{16}}{-6} = \frac{-12}{-6} = 2$$

Ответ:
Стационарные точки: $x_1 = 2$, $x_2 = 2$.

г) Значения функции в стационарных точках:

Для того, чтобы найти значения функции в стационарных точках, подставим найденные значения $x = 2$ в исходную функцию $y = -x^3 + 4x^2 — 4x$.

Подставим $x = 2$:

$$f(2) = -(2)^3 + 4 \cdot (2)^2 — 4 \cdot (2) = -8 + 16 — 8 = 0$$

Ответ:
Значение функции в точке $x = 2$:

• $f(2) = 0$

д) Промежутки монотонности:

Теперь, чтобы определить, на каких интервалах функция возрастает или убывает, нужно исследовать знак производной $y'(x) = -3x^2 + 8x — 4$. Мы будем использовать метод анализа знаков производной на разных интервалах.

Для $x \in (-\infty; 2)$:
Подставим значение $x = 0$ в производную:

$$y'(0) = -3(0)^2 + 8(0) — 4 = -4 < 0$$

Это значит, что на интервале $(-\infty; 2)$ функция убывает.

Для $x \in (2; +\infty)$:
Подставим значение $x = 3$ в производную:

$$y'(3) = -3(3)^2 + 8(3) — 4 = -27 + 24 — 4 = -7 < 0$$

Это означает, что на интервале $(2; +\infty)$ функция продолжает убывать.

Таким образом, на интервале $(-\infty; 2)$ и на интервале $(2; +\infty)$ функция убывает. Точка $x = 2$ — это точка экстремума (точка минимума, так как функция убывает с обеих сторон).

Ответ:

• Функция убывает на $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$.
• $x = 2$ — точка минимума.

е) Таблица свойств функции:

Теперь мы можем составить таблицу свойств функции $y = -x^3 + 4x^2 — 4x$, основываясь на результатах анализа производной и значений функции.

Ответ:

• На интервале $(-\infty; 2)$ функция убывает (обозначено как $\searrow$).
• В точке $x = 2$ функция принимает значение 0.
• На интервале $(2; +\infty)$ функция также убывает (обозначено как $\searrow$).

4) $y = x^3 + 6x^2 + 9x$

а) Область определения:

Это полиномиальная функция, и полиномиальные функции определены на всей числовой прямой.
Ответ:

$$D(x) = (-\infty; +\infty)$$

б) Производная функции:

Теперь найдем производную функции $y = x^3 + 6x^2 + 9x$. Мы используем стандартные правила дифференцирования:

• Производная $x^3$ равна $3x^2$,
• Производная $6x^2$ равна $12x$,
• Производная $9x$ равна 9.

Таким образом, производная функции будет:

$$y'(x) = (x^3)’ + 6 \cdot (x^2)’ + (9x)’ = 3x^2 + 12x + 9$$

Ответ:

$$y'(x) = 3x^2 + 12x + 9$$

в) Стационарные точки:

Теперь найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю:

$$3x^2 + 12x + 9 = 0$$

Разделим уравнение на 3, чтобы упростить решение:

$$x^2 + 4x + 3 = 0$$

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$$

Теперь находим корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-4 — \sqrt{4}}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2} = -1$$

Ответ:
Стационарные точки: $x_1 = -3$ и $x_2 = -1$.

г) Значения функции в стационарных точках:

Теперь подставим $x_1 = -3$ и $x_2 = -1$ в исходную функцию $y = x^3 + 6x^2 + 9x$, чтобы найти значения функции в этих точках.

Для $x = -3$:

$$f(-3) = (-3)^3 + 6 \cdot (-3)^2 + 9 \cdot (-3) = -27 + 54 — 27 = 0$$

Для $x = -1$:

$$f(-1) = (-1)^3 + 6 \cdot (-1)^2 + 9 \cdot (-1) = -1 + 6 — 9 = -4$$

Ответ:
Значения функции:

• $f(-3) = 0$
• $f(-1) = -4$

д) Промежутки монотонности:

Теперь определим, на каких интервалах функция возрастает или убывает, исследуя знак производной $y'(x) = 3x^2 + 12x + 9$.

Для $x \in (-\infty; -3)$:
Подставим значение $x = -4$:

$$y'(-4) = 3(-4)^2 + 12(-4) + 9 = 48 — 48 + 9 = 9 > 0$$

Это значит, что на интервале $(-\infty; -3)$ функция возрастает.

Для $x \in (-3; -1)$:
Подставим значение $x = -2$:

$$y'(-2) = 3(-2)^2 + 12(-2) + 9 = 12 — 24 + 9 = -3 < 0$$

Это значит, что на интервале $(-3; -1)$ функция убывает.

Для $x \in (-1; +\infty)$:
Подставим значение $x = 0$:

$$y'(0) = 3(0)^2 + 12(0) + 9 = 9 > 0$$

Это значит, что на интервале $(-1; +\infty)$ функция возрастает.

Ответ:

• Функция возрастает на интервалах $(-\infty; -3)$ и $(-1; +\infty)$.
• Функция убывает на интервале $(-3; -1)$.
• $x = -3$ — точка максимума.
• $x = -1$ — точка минимума.

е) Таблица свойств функции: