ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1338 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение (1338—1339)

1. |2х — 3| = 7;
2. |х + 6| =2x;
3. 2x-7=|x-4|.

$|2x — 3| = 7$;

Число под знаком модуля:
$2x — 3 \geq 0;$
$2x \geq 3, \text{ отсюда } x \geq 1,5;$

Если $x \geq 1,5$, тогда:
$2x — 3 = 7;$
$2x = 10, \text{ отсюда } x = 5;$

Если $x < 1,5$, тогда:
$-(2x — 3) = 7;$
$-2x + 3 = 7;$
$-2x = 4, \text{ отсюда } x = -2;$

Ответ: $x_1 = -2; \, x_2 = 5$.

$|x + 6| = 2x$;

Число под знаком модуля:
$x + 6 \geq 0, \text{ отсюда } x \geq -6;$

Если $x \geq -6$, тогда:
$x + 6 = 2x;$
$-x = -6, \text{ отсюда } x = 6;$

Если $x < -6$, тогда:
$-(x + 6) = 2x;$
$-x — 6 = 2x;$
$-3x = 6, \text{ отсюда } x = -2;$

Ответ: $x = 6$.

$2x — 7 = |x — 4|$;

Число под знаком модуля:
$x — 4 \geq 0, \text{ отсюда } x \geq 4;$

Если $x \geq 4$, тогда:
$2x — 7 = x — 4;$
$2x — x = -4 + 7, \text{ отсюда } x = 3;$

Если $x < 4$, тогда:
$2x — 7 = -(x — 4);$
$2x — 7 = -x + 4;$
$3x = 11, \text{ отсюда } x = \frac{11}{3} = 3\frac{2}{3};$

Ответ: $x = 3\frac{2}{3}$.

Уравнение 1: $|2x — 3| = 7$

Шаг 1: Разбор на два случая

Модуль выражения $|2x — 3| = 7$ означает, что $2x — 3$ может быть как положительным, так и отрицательным числом. Рассмотрим два случая:

1. $2x — 3 = 7$ (когда выражение под модулем положительное),
2. $-(2x — 3) = 7$ (когда выражение под модулем отрицательное).

Шаг 2: Решение для $2x — 3 = 7$

Решаем уравнение $2x — 3 = 7$:

$$2x — 3 = 7.$$

Прибавим 3 к обеим частям уравнения:

$$2x = 10.$$

Теперь разделим обе части на 2:

$$x = 5.$$

Шаг 3: Решение для $-(2x — 3) = 7$

Теперь решим второй случай $-(2x — 3) = 7$:

$$-(2x — 3) = 7.$$

Раскроем скобки:

$$-2x + 3 = 7.$$

Теперь перенесем 3 на правую сторону уравнения:

$$-2x = 4.$$

Разделим обе части на -2:

$$x = -2.$$

Шаг 4: Условия для корней

Чтобы оба корня подходили к исходному уравнению, необходимо проверить, при каких значениях $x$ выполняется условие, при котором модуль имеет смысл.

Для первого случая, $x = 5$, подставляем в исходное уравнение:

$$|2(5) — 3| = |10 — 3| = 7.$$

Это условие выполняется.

Для второго случая, $x = -2$, подставляем в исходное уравнение:

$$|2(-2) — 3| = |-4 — 3| = 7.$$

Это условие также выполняется.

Ответ:

$$x_1 = -2, \quad x_2 = 5.$$

Уравнение 2: $|x + 6| = 2x$

Шаг 1: Разбор на два случая

Уравнение $|x + 6| = 2x$ также подразумевает два случая для выражения под модулем:

1. $x + 6 = 2x$ (когда выражение под модулем положительное),
2. $-(x + 6) = 2x$ (когда выражение под модулем отрицательное).

Шаг 2: Решение для $x + 6 = 2x$

Решаем уравнение $x + 6 = 2x$:

$$x + 6 = 2x.$$

Переносим все выражения с $x$ на одну сторону:

$$x — 2x = -6,$$ $$-x = -6.$$

Умножаем обе части на -1:

$$x = 6.$$

Шаг 3: Решение для $-(x + 6) = 2x$

Теперь решаем второй случай $-(x + 6) = 2x$:

$$-(x + 6) = 2x.$$

Раскроем скобки:

$$-x — 6 = 2x.$$

Переносим все выражения с $x$ на одну сторону:

$$-x — 2x = 6,$$ $$-3x = 6.$$

Разделим обе части на -3:

$$x = -2.$$

Шаг 4: Условия для корней

Теперь проверим, при каких значениях $x$ выполняется условие, при котором модуль имеет смысл. Модуль $|x + 6|$ требует, чтобы $x + 6 \geq 0$, то есть $x \geq -6$.

Для первого корня $x = 6$:

$$|6 + 6| = |12| = 12, \quad 2(6) = 12.$$

Условие выполняется, корень $x = 6$ подходит.

Для второго корня $x = -2$:

$$|-2 + 6| = |4| = 4, \quad 2(-2) = -4.$$

Условие не выполняется, так как 4 не равно -4.

Ответ:

$$x = 6.$$

Уравнение 3: $2x — 7 = |x — 4|$

Шаг 1: Разбор на два случая

Для уравнения $2x — 7 = |x — 4|$ снова рассматриваем два случая для выражения под модулем:

1. $x — 4 = 2x — 7$ (когда выражение под модулем положительное),
2. $-(x — 4) = 2x — 7$ (когда выражение под модулем отрицательное).

Шаг 2: Решение для $x — 4 = 2x — 7$

Решаем уравнение $x — 4 = 2x — 7$:

$$x — 4 = 2x — 7.$$

Переносим все выражения с $x$ на одну сторону:

$$x — 2x = -7 + 4,$$ $$-x = -3,$$

Умножаем обе части на -1:

$$x = 3.$$

Шаг 3: Решение для $-(x — 4) = 2x — 7$

Теперь решаем второй случай $-(x — 4) = 2x — 7$:

$$-(x — 4) = 2x — 7.$$

Раскроем скобки:

$$-x + 4 = 2x — 7.$$

Переносим все выражения с $x$ на одну сторону:

$$-x — 2x = -7 — 4,$$ $$-3x = -11.$$

Разделим обе части на -3:

$$x = \frac{11}{3} \approx 3.67.$$

Шаг 4: Условия для корней

Теперь проверим, при каких значениях $x$ выполняется условие, при котором модуль имеет смысл. Модуль $|x — 4|$ требует, чтобы $x — 4 \geq 0$, то есть $x \geq 4$.

Для первого корня $x = 3$:

$$|3 — 4| = |-1| = 1, \quad 2(3) — 7 = 6 — 7 = -1.$$

Условие не выполняется, так как 1 не равно -1.

Для второго корня $x = \frac{11}{3} \approx 3.67$:

$$|3.67 — 4| = | -0.33 | = 0.33, \quad 2(3.67) — 7 = 7.34 — 7 = 0.34.$$

Условие не выполняется, так как 0.33 не равно 0.34.

Ответ:

$$x = 3\frac{2}{3}.$$

Итоговые ответы:

1. $x_1 = -2; \, x_2 = 5$.
2. $x = 6$.
3. $x = 3\frac{2}{3}$.