ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 310 Алимов — Подробные Ответы

Дано: log6(2) =m. Найти: log24(72).

Дано: $\log_{6} 2 = m$;

Найти: $\log_{24} 72$;

Решение:

$$\log_{24} 72 = \frac{\log_{6} 72}{\log_{6} 24} = \frac{\log_{6}(2 \cdot 36)}{\log_{6}(4 \cdot 6)} = \frac{\log_{6} 2 + \log_{6} 36}{\log_{6} 4 + \log_{6} 6} = \frac{m + \log_{6} 6^2}{\log_{6} 2^2 + 1} =$$ $$= \frac{m + 2}{2 \log_{6} 2 + 1} = \frac{m + 2}{2m + 1};$$

Ответ: $\frac{m + 2}{2m + 1}$.

Дано:

$$\log_6 2 = m$$

Найти:

$$\log_{24} 72$$

Шаг 1: Применим формулу смены основания

Формула смены основания:

$$\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$$

Выбираем основание $c = 6$, поскольку $\log_6 2 = m$ уже дано:

$$\log_{24} 72 = \frac{\log_6 72}{\log_6 24}$$

Шаг 2: Разложим 72 и 24 на множители

$$72 = 2 \cdot 36 = 2 \cdot 6^2 \quad \text{(удобно, так как 6 — основание)}$$ $$24 = 4 \cdot 6 = 2^2 \cdot 6$$

Шаг 3: Разложим числитель

$$\log_6 72 = \log_6 (2 \cdot 36) = \log_6 2 + \log_6 36$$

А $36 = 6^2$, поэтому:

$$\log_6 36 = \log_6 (6^2) = 2 \cdot \log_6 6 = 2 \cdot 1 = 2$$

(так как $\log_b b = 1$)

Следовательно:

$$\log_6 72 = \log_6 2 + 2 = m + 2$$

Шаг 4: Разложим знаменатель

$$\log_6 24 = \log_6 (4 \cdot 6) = \log_6 4 + \log_6 6$$ $$\log_6 6 = 1$$

А $4 = 2^2$, значит:

$$\log_6 4 = \log_6 (2^2) = 2 \cdot \log_6 2 = 2m$$

Итак:

$$\log_6 24 = 2m + 1$$

Шаг 5: Подставим в исходное выражение

$$\log_{24} 72 = \frac{\log_6 72}{\log_6 24} = \frac{m + 2}{2m + 1}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{m + 2}{2m + 1}}$$