ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 164 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение:

1. корень (x+(корень (6x-9)) + корень (x-(корень (6x-9))= корень 6;
2. корень (x+(корень (x+11)) + корень (x-(корень (x+11))= 4.

1)$$\sqrt{x + \sqrt{6x — 9}} + \sqrt{x — \sqrt{6x — 9}} = \sqrt{6};$$

$$x + \sqrt{6x — 9} + 2\sqrt{(x + \sqrt{6x — 9})(x — \sqrt{6x — 9})} + x — \sqrt{6x — 9} = 6;$$

$$2\sqrt{x^2 — (6x — 9)} = 6 — 2x;$$

$$\sqrt{x^2 — 6x + 9} = 3 — x;$$

$$x^2 — 6x + 9 = 9 — 6x + x^2;$$

$$0x = 0 \quad \text{— при любом } x;$$

Выражение имеет смысл при:

$$6x — 9 \geq 0;$$

$$6x \geq 9;$$

$$x \geq 1.5;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x — \sqrt{6x — 9} \geq 0;$$

$$x \geq \sqrt{6x — 9};$$

$$x^2 \geq 6x — 9;$$

$$x^2 — 6x + 9 \geq 0;$$

$$(x — 3)^2 \geq 0 \quad \text{— при любом } x;$$

Уравнение имеет решения при:

$$6 — 2x \geq 0;$$

$$3 — x \geq 0;$$

$$x \leq 3;$$

Ответ: $1.5 \leq x \leq 3$

2)$$\sqrt{x + \sqrt{x + 11}} + \sqrt{x — \sqrt{x + 11}} = 4;$$

$$x + \sqrt{x + 11} + 2\sqrt{(x + \sqrt{x + 11})(x — \sqrt{x + 11})} + x — \sqrt{x + 11} = 16;$$

$$2\sqrt{x^2 — (x + 11)} = 16 — 2x;$$

$$\sqrt{x^2 — x — 11} = 8 — x;$$

$$x^2 — x — 11 = 64 — 16x + x^2;$$

$$15x = 75;$$

$$x = 5;$$

Выполним проверку:

$$\sqrt{5 + \sqrt{5 + 11}} + \sqrt{5 — \sqrt{5 + 11}} = \sqrt{5 + \sqrt{16}} + \sqrt{5 — \sqrt{16}} = \sqrt{9} + \sqrt{1} = 4;$$

Ответ: $x = 5$

1)
Уравнение:

$$\sqrt{x + \sqrt{6x — 9}} + \sqrt{x — \sqrt{6x — 9}} = \sqrt{6}.$$

Применим метод приведения подобного выражения. Сначала упростим левую часть:

$$\sqrt{x + \sqrt{6x — 9}} + \sqrt{x — \sqrt{6x — 9}} = \sqrt{6}.$$

Поднимем обе части уравнения в квадрат:

$$\left(\sqrt{x + \sqrt{6x — 9}} + \sqrt{x — \sqrt{6x — 9}}\right)^2 = (\sqrt{6})^2.$$

Раскроем левую часть:

$$(x + \sqrt{6x — 9}) + (x — \sqrt{6x — 9}) + 2 \sqrt{(x + \sqrt{6x — 9})(x — \sqrt{6x — 9})} = 6.$$

Сначала упростим выражение:

$$2x + 2 \sqrt{(x + \sqrt{6x — 9})(x — \sqrt{6x — 9})} = 6.$$

Упростим квадратный корень в выражении:

$$(x + \sqrt{6x — 9})(x — \sqrt{6x — 9}) = x^2 — (6x — 9) = x^2 — 6x + 9.$$

Таким образом, уравнение принимает вид:

$$2x + 2 \sqrt{x^2 — 6x + 9} = 6.$$

Разделим обе части на 2:

$$x + \sqrt{x^2 — 6x + 9} = 3.$$

Теперь снова возведем обе части уравнения в квадрат:

$$\left(x + \sqrt{x^2 — 6x + 9}\right)^2 = 3^2.$$

Получаем:

$$x^2 + 2x \sqrt{x^2 — 6x + 9} + (x^2 — 6x + 9) = 9.$$

Упростим:

$$x^2 + 2x \sqrt{x^2 — 6x + 9} + x^2 — 6x + 9 = 9.$$

$$2x^2 — 6x + 9 + 2x \sqrt{x^2 — 6x + 9} = 9.$$

Переносим все, что не содержит корня, в правую часть:

$$2x^2 — 6x + 9 — 9 = -2x \sqrt{x^2 — 6x + 9}.$$

$$2x^2 — 6x = -2x \sqrt{x^2 — 6x + 9}.$$

Упростим:

$$x^2 — 3x = -x \sqrt{x^2 — 6x + 9}.$$

Поднимем обе части уравнения в квадрат:

$$(x^2 — 3x)^2 = x^2 (x^2 — 6x + 9).$$

Теперь раскрываем скобки:

$$(x^2 — 3x)^2 = x^4 — 6x^3 + 9x^2,$$

и

$$x^2(x^2 — 6x + 9) = x^4 — 6x^3 + 9x^2.$$

Видим, что обе стороны уравнения одинаковы. Таким образом, уравнение всегда верно при условии, что оно имеет смысл.

Теперь найдем область определения. Из исходного уравнения:

$$\sqrt{6x — 9} \geq 0,$$

что означает, что $x \geq 1.5$.

Также требуется, чтобы $x — \sqrt{6x — 9} \geq 0$:

$$x \geq \sqrt{6x — 9}.$$

Возведем обе части в квадрат:

$$x^2 \geq 6x — 9.$$

Переносим все в левую часть:

$$x^2 — 6x + 9 \geq 0.$$

Это выражение всегда верно, так как $(x — 3)^2 \geq 0$ при любом $x$.

Далее из неравенства $6 — 2x \geq 0$:

$$x \leq 3.$$

Таким образом, область определения: $1.5 \leq x \leq 3$.

Ответ: $1.5 \leq x \leq 3$

2)
Уравнение:

$$\sqrt{x + \sqrt{x + 11}} + \sqrt{x — \sqrt{x + 11}} = 4.$$

Применим аналогичный метод. Начнем с возведения обеих частей в квадрат:

$$\left(\sqrt{x + \sqrt{x + 11}} + \sqrt{x — \sqrt{x + 11}}\right)^2 = 4^2.$$

Раскроем левую часть:

$$(x + \sqrt{x + 11}) + (x — \sqrt{x + 11}) + 2\sqrt{(x + \sqrt{x + 11})(x — \sqrt{x + 11})} = 16.$$

Упростим:

$$2x + 2\sqrt{(x + \sqrt{x + 11})(x — \sqrt{x + 11})} = 16.$$

Упростим выражение под корнем:

$$(x + \sqrt{x + 11})(x — \sqrt{x + 11}) = x^2 — (x + 11) = x^2 — x — 11.$$

Тогда уравнение становится:

$$2x + 2\sqrt{x^2 — x — 11} = 16.$$

Разделим обе части на 2:

$$x + \sqrt{x^2 — x — 11} = 8.$$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$\left(x + \sqrt{x^2 — x — 11}\right)^2 = 8^2.$$

Раскроем:

$$x^2 + 2x\sqrt{x^2 — x — 11} + (x^2 — x — 11) = 64.$$

Упростим:

$$x^2 + 2x \sqrt{x^2 — x — 11} + x^2 — x — 11 = 64.$$

$$2x^2 — x — 11 + 2x \sqrt{x^2 — x — 11} = 64.$$

Переносим все, что не содержит корня, в правую часть:

$$2x^2 — x — 75 = -2x \sqrt{x^2 — x — 11}.$$

Разделим обе части на -2:

$$-x^2 + \frac{x}{2} + \frac{75}{2} = x \sqrt{x^2 — x — 11}.$$

Решаем для $x = 5$. Проверка:

$$\sqrt{5 + \sqrt{5 + 11}} + \sqrt{5 — \sqrt{5 + 11}} = \sqrt{5 + \sqrt{16}} + \sqrt{5 — \sqrt{16}} = \sqrt{9} + \sqrt{1} = 4.$$

Ответ: $x = 5$

Итоговые ответы:

1. $1.5 \leq x \leq 3$
2. $x = 5$