ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1588 Алимов — Подробные Ответы

Через точку А (3; -4) проведена касательная l к гиперболе у =-12/x. Найти радиус окружности с центром на оси ординат, касающейся прямой l и оси абсцисс.

Дана функция $f(x) = -\frac{12}{x}$ и точка $A(3; -4)$.

Точка $A$ принадлежит данной гиперболе:

$$f(3) = -\frac{12}{3} = -4$$

Уравнение касательной $l$ в точке $A$:

$$f'(x) = -12 \cdot \left(\frac{1}{x}\right)’ = -12 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{12}{x^2}$$ $$f'(3) = \frac{12}{3^2} = \frac{4}{3}$$ $$y = -4 + \frac{4}{3}(x — 3) = -4 + \frac{4}{3}x — 4 = \frac{4}{3}x — 8$$

Центр данной окружности лежит на оси ординат, и она касается оси абсцисс, значит её уравнение имеет вид:

$$x^2 + (y — r)^2 = r^2$$ $$x^2 + y^2 — 2yr + r^2 — r^2 = 0$$ $$x^2 + y^2 — 2yr = 0$$

Окружность касается прямой $l$, значит:

$$x^2 + \left(\frac{4}{3}x — 8\right)^2 — 2r\left(\frac{4}{3}x — 8\right) = 0$$ $$x^2 + \frac{16}{9}x^2 — \frac{64}{3}x + 64 — \frac{8r}{3}x + 16r = 0 \quad | \cdot 9$$ $$9x^2 + 16x^2 — 192x + 576 — 24rx + 144r = 0$$ $$25x^2 — (192 + 24r)x + (576 + 144r) = 0$$

Найдём дискриминант:

$$D = (192 + 24r)^2 — 4 \cdot 25 \cdot (576 + 144r) =$$ $$= 36864 + 9216r + 576r^2 — 57600 — 14400r =$$ $$= 576r^2 — 5184r — 20736 = 64(9r^2 — 81r — 324)$$

Уравнение имеет лишь только одно решение при $D = 0$:

$$9r^2 — 81r — 324 = 0$$ $$D = 81^2 + 9 \cdot 4 \cdot 324 = 6561 + 11664 = 18225, \text{ тогда: }$$ $$r_1 = \frac{81 — 135}{2 \cdot 9} = \frac{-54}{18} = -3;$$ $$r_2 = \frac{81 + 135}{2 \cdot 9} = \frac{216}{18} = 12;$$

Ответ: $r = 3$ или $r = 12$.

Дана функция $f(x) = -\frac{12}{x}$ и точка $A(3; -4)$.

Задание состоит из нескольких шагов, и давайте разберем решение очень подробно.

Шаг 1: Проверка принадлежности точки $A$ графику функции

Нам нужно удостовериться, что точка $A(3, -4)$ действительно лежит на графике функции $f(x) = -\frac{12}{x}$. Для этого подставим $x = 3$ в уравнение функции и проверим, что значение функции при $x = 3$ совпадает с $y$-координатой точки $A$.

1. Подставим $x = 3$ в уравнение функции:

   $$f(3) = -\frac{12}{3} = -4.$$

2. Мы видим, что $f(3) = -4$, что совпадает с $y$-координатой точки $A$. Следовательно, точка $A(3, -4)$ действительно принадлежит графику функции $f(x)$.

Шаг 2: Нахождение уравнения касательной в точке $A$

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $A(3, -4)$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции $f(x)$, чтобы вычислить угловой коэффициент касательной.
2. Подставить значение $x = 3$ в производную, чтобы найти наклон касательной в точке $A$.
3. Используя уравнение прямой в точке, составить уравнение касательной.

2.1. Найдем производную функции

Функция $f(x) = -\frac{12}{x}$ представляет собой гиперболу. Ее производную можно найти с использованием правила дифференцирования для функции $\frac{1}{x}$, которое гласит, что производная $\left( \frac{1}{x} \right)’ = -\frac{1}{x^2}$. Применяем это к функции $f(x)$:

$$f'(x) = -12 \cdot \left( \frac{1}{x} \right)’ = -12 \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) = \frac{12}{x^2}.$$

2.2. Подставим $x = 3$ в производную

Теперь, чтобы найти угловой коэффициент касательной в точке $A(3, -4)$, подставим $x = 3$ в производную $f'(x)$:

$$f'(3) = \frac{12}{3^2} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}.$$

Таким образом, угловой коэффициент касательной в точке $A$ равен $\frac{4}{3}$.

2.3. Найдем уравнение касательной

Уравнение касательной к функции в точке $A(x_1, y_1)$ можно записать в виде:

$$y — y_1 = f'(x_1) \cdot (x — x_1),$$

где $f'(x_1)$ — это угловой коэффициент касательной, а $(x_1, y_1)$ — координаты точки касания.

Подставим известные значения:

• $f'(3) = \frac{4}{3}$,
• $x_1 = 3$,
• $y_1 = -4$.

Получаем уравнение касательной:

$$y — (-4) = \frac{4}{3}(x — 3),$$ $$y + 4 = \frac{4}{3}(x — 3).$$

Теперь раскрываем скобки:

$$y + 4 = \frac{4}{3}x — \frac{4}{3} \cdot 3,$$ $$y + 4 = \frac{4}{3}x — 4.$$

Отнимаем 4 с обеих сторон:

$$y = \frac{4}{3}x — 8.$$

Таким образом, уравнение касательной в точке $A(3, -4)$ имеет вид:

$$y = \frac{4}{3}x — 8.$$

Шаг 3: Уравнение окружности

Центр данной окружности лежит на оси ординат, и она касается оси абсцисс. Это означает, что окружность имеет следующий вид:

$$x^2 + (y — r)^2 = r^2,$$

где $r$ — радиус окружности. Параметр $r$ определяется как расстояние от центра окружности до оси абсцисс (так как окружность касается оси абсцисс).

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$$x^2 + (y — r)^2 = r^2 \quad \Rightarrow \quad x^2 + y^2 — 2yr + r^2 — r^2 = 0,$$ $$x^2 + y^2 — 2yr = 0.$$

Это уравнение окружности.

Шаг 4: Окружность касается касательной

Теперь, так как окружность касается прямой $l$, уравнение которой мы нашли ранее ($y = \frac{4}{3}x — 8$), то подставим это уравнение в уравнение окружности. Для того чтобы окружность касалась прямой, дискриминант полученного квадратного уравнения должен быть равен нулю, что указывает на одно единственное решение.

Подставим $y = \frac{4}{3}x — 8$ в уравнение окружности:

$$x^2 + \left( \frac{4}{3}x — 8 — r \right)^2 = r^2.$$

Раскроем скобки:

$$x^2 + \left( \frac{4}{3}x — 8 — r \right)^2 = r^2.$$

Теперь раскрываем квадрат:

$$x^2 + \frac{16}{9}x^2 — \frac{64}{3}x + 64 — \frac{8r}{3}x + 16r = 0.$$

Умножим обе стороны на 9, чтобы избавиться от дробей:

$$9x^2 + 16x^2 — 192x + 576 — 24rx + 144r = 0.$$

Соберем подобные слагаемые:

$$25x^2 — (192 + 24r)x + (576 + 144r) = 0.$$

Шаг 5: Нахождение дискриминанта

Для того чтобы окружность касалась прямой, уравнение должно иметь ровно одно решение, т.е. дискриминант должен быть равен нулю. Найдем дискриминант уравнения:

$$D = (192 + 24r)^2 — 4 \cdot 25 \cdot (576 + 144r).$$

Посчитаем:

$$D = 36864 + 9216r + 576r^2 — 57600 — 14400r.$$

Упростим:

$$D = 576r^2 — 5184r — 20736 = 64(9r^2 — 81r — 324).$$

Для того чтобы уравнение имело одно решение, дискриминант должен быть равен нулю:

$$9r^2 — 81r — 324 = 0.$$

Шаг 6: Решение квадратного уравнения

Решим квадратное уравнение $9r^2 — 81r — 324 = 0$ с помощью формулы для решения квадратных уравнений:

$$r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a},$$

где $a = 9$, $b = -81$, и $c = -324$. Сначала находим дискриминант:

$$D = (-81)^2 — 4 \cdot 9 \cdot (-324) = 6561 + 11664 = 18225.$$

Теперь находим корни:

$$r_1 = \frac{81 — 135}{2 \cdot 9} = \frac{-54}{18} = -3,$$ $$r_2 = \frac{81 + 135}{2 \cdot 9} = \frac{216}{18} = 12.$$

Ответ:

Радиус окружности может быть $r = 3$ или $r = 12$.