ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1496 Алимов — Подробные Ответы

Найти точки, в которых касательные к графику функции у = 4х3 — 9х2 + 6х + 1 параллельны оси абсцисс.

Дана функция: $y = 4x^3 — 9x^2 + 6x + 1$;

Производная функции:
$y'(x) = 4(x^3)’ — 9(x^2)’ + (6x + 1)’;$
$k = y'(x) = 4 \cdot 3x^2 — 9 \cdot 2x + 6 = 12x^2 — 18x + 6;$

Касательная параллельна оси абсцисс, когда $k = 0$:
$12x^2 — 18x + 6 = 0;$
$2x^2 — 3x + 1 = 0;$
$D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1, \text{ тогда:}$
$x_1 = \frac{3 — 1}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2};$
$x_2 = \frac{3 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1;$
$y_1 = 4\left(\frac{1}{2}\right)^3 — 9\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 6 \cdot \frac{1}{2} + 1 = \frac{4 — 18 + 24 + 8}{8} = 2,25;$
$y_2 = 4 \cdot 1^3 — 9 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 + 1 = 4 — 9 + 6 + 1 = 2;$

Ответ: $(0,5; 2,25)$; $(1; 2)$.

Дана функция:

$$y = 4x^3 — 9x^2 + 6x + 1$$

Найти все точки, в которых касательная к графику параллельна оси абсцисс.

Пояснение к задаче:

Если касательная параллельна оси абсцисс (оси $OX$), то её угловой коэффициент $k = 0$.
Поскольку угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в данной точке, ищем, где:

$$y'(x) = 0$$

Шаг 1: Найдём производную функции

Исходная функция:

$$y = 4x^3 — 9x^2 + 6x + 1$$

Найдём её производную по правилу суммы и степеней:

$$y'(x) = (4x^3)’ — (9x^2)’ + (6x)’ + (1)’ = 4 \cdot 3x^2 — 9 \cdot 2x + 6 + 0$$

Вычислим:

$$y'(x) = 12x^2 — 18x + 6$$

Производная:

$$y'(x) = 12x^2 — 18x + 6$$

Шаг 2: Приравняем производную к нулю

Найдём такие значения $x$, при которых касательная горизонтальна (то есть $k = y'(x) = 0$):

$$12x^2 — 18x + 6 = 0$$

Упростим уравнение, разделив все коэффициенты на 6:

$$2x^2 — 3x + 1 = 0$$

Это квадратное уравнение.

Шаг 3: Найдём корни квадратного уравнения

Уравнение:

$$2x^2 — 3x + 1 = 0$$

Найдём дискриминант:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1$$

Корни:

$$x_1 = \frac{3 — \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ $$x_2 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$$

Значит, касательная будет горизонтальной в точках $x = \frac{1}{2}$ и $x = 1$

Шаг 4: Найдём соответствующие значения функции (ординаты)

Теперь найдём $y$ для каждого значения $x$, подставив в исходную функцию:

Для $x = \frac{1}{2}$:

$$y = 4\left(\frac{1}{2}\right)^3 — 9\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 6 \cdot \frac{1}{2} + 1$$

Пошагово:

• $\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$, умножим: $4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{2}$
• $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$, умножим: $9 \cdot \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$
• $6 \cdot \frac{1}{2} = 3$

Теперь соберём всё вместе:

$$y = \frac{1}{2} — \frac{9}{4} + 3 + 1$$

Приведём к общему знаменателю (наименьший общий знаменатель — 4):

$$\frac{2}{4} — \frac{9}{4} + \frac{12}{4} + \frac{4}{4} = \frac{2 — 9 + 12 + 4}{4} = \frac{9}{4} = 2.25$$

Точка: $\left( \frac{1}{2},\ 2.25 \right)$

Для $x = 1$:

$$y = 4 \cdot 1^3 — 9 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 + 1 = 4 — 9 + 6 + 1 = 2$$

Точка: $(1,\ 2)$

Ответ:

$$\boxed{(0{,}5;\ 2{,}25);\ (1;\ 2)}$$