ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1543 Алимов — Подробные Ответы

Найти значение производной функции f (х) в точке х0:

1. f(x)=x3-x2/2 + x, x0=1/3;
2. f(x)=lnx/x, x0=1;
3. f(x) = x^-3 — 2/x2 + 3x, x0=3;
4. f(x) = cosx/sinx, x0=пи/4.

1) $f(x) = x^3 — \frac{x^2}{2} + x$ и $x_0 = \frac{1}{3}$;

$$f'(x) = (x^3)’ — \frac{1}{2}(x^2)’ + (x)’ = 3x^2 — \frac{1}{2} \cdot 2x + 1 = 3x^2 — x + 1;$$ $$f’\left(\frac{1}{3}\right) = 3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 — \frac{1}{3} + 1 = 3 \cdot \frac{1}{9} — \frac{1}{3} + 1 = \frac{1}{3} — \frac{1}{3} + 1 = 1;$$

Ответ: 1.

2) $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ и $x_0 = 1$;

$$f'(x) = \frac{(\ln x)’ \cdot x — \ln x \cdot (x)’}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x — \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 — \ln x}{x^2};$$ $$f'(1) = \frac{1 — \ln 1}{1^2} = \frac{1 — 0}{1} = \frac{1}{1} = 1;$$

Ответ: 1.

3) $f(x) = x^{-3} \cdot \frac{2}{x^2} + 3x$ и $x_0 = 3$;

$$f'(x) = (x^{-3})’ — 2(x^{-2})’ + (3x)’;$$ $$f'(x) = -3x^{-4} — 2 \cdot (-2x^{-3}) + 3 = -\frac{3}{x^4} + \frac{4}{x^3} + 3;$$ $$f'(3) = -\frac{3}{3^4} + \frac{4}{3^3} + 3 = -\frac{3}{81} + \frac{4}{27} + 3 = \frac{-1 + 4}{27} + 3 = 3 \frac{3}{27} = 3 \frac{1}{9};$$

Ответ: $3 \frac{1}{9}$.

4) $f(x) = \frac{\cos x}{\sin x}$ и $x_0 = \frac{\pi}{4}$;

$$f'(x) = \frac{(\cos x)’ \cdot \sin x — \cos x \cdot (\sin x)’}{\sin^2 x};$$ $$f'(x) = \frac{-\sin x \cdot \sin x — \cos x \cdot \cos x}{\sin^2 x} = -\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x} = -\frac{1}{\sin^2 x};$$ $$f’\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1 : \sin^2 \frac{\pi}{4} = -1 : \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = -1 : \frac{1}{2} = -2;$$

Ответ: -2.

1. Задача: $f(x) = x^3 — \frac{x^2}{2} + x$ и $x_0 = \frac{1}{3}$

1.1. Формулировка задачи:

Нам нужно найти производную функции $f(x) = x^3 — \frac{x^2}{2} + x$ и вычислить её значение в точке $x_0 = \frac{1}{3}$.

1.2. Нахождение производной функции:

Для нахождения производной функции $f(x) = x^3 — \frac{x^2}{2} + x$, воспользуемся стандартными правилами дифференцирования.

1. Производная от $x^3$ равна $3x^2$.
2. Производная от $-\frac{x^2}{2}$ равна $-\frac{1}{2} \cdot 2x = -x$.
3. Производная от $x$ равна 1.

Таким образом, производная функции $f(x)$ будет:

$$f'(x) = 3x^2 — x + 1.$$

1.3. Вычисление значения производной в точке $x_0 = \frac{1}{3}$:

Теперь подставим $x_0 = \frac{1}{3}$ в выражение для производной $f'(x) = 3x^2 — x + 1$:

$$f’\left(\frac{1}{3}\right) = 3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 — \frac{1}{3} + 1.$$

Вычислим каждое слагаемое:

$$3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 3 \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{3},$$ $$-\frac{1}{3} = -\frac{1}{3},$$ $$1 = 1.$$

Теперь сложим все выражения:

$$f’\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3} — \frac{1}{3} + 1 = 1.$$

1.4. Ответ:

Значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0 = \frac{1}{3}$ равно:

$$\boxed{1}.$$

2. Задача: $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ и $x_0 = 1$

2.1. Формулировка задачи:

Нам нужно найти производную функции $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ и вычислить её значение в точке $x_0 = 1$.

2.2. Нахождение производной функции:

Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{\ln x}{x}$, используем правило дифференцирования частного:

$$f'(x) = \frac{(u(x))’v(x) — u(x)(v(x))’}{v(x)^2},$$

где $u(x) = \ln x$, а $v(x) = x$.

Найдем производные:

• $u'(x) = \frac{1}{x}$,
• $v'(x) = 1$.

Подставляем в формулу:

$$f'(x) = \frac{\left(\frac{1}{x}\right) \cdot x — \ln x \cdot 1}{x^2}.$$

Упростим:

$$f'(x) = \frac{1 — \ln x}{x^2}.$$

2.3. Вычисление значения производной в точке $x_0 = 1$:

Теперь подставим $x_0 = 1$ в выражение для производной $f'(x) = \frac{1 — \ln x}{x^2}$:

$$f'(1) = \frac{1 — \ln 1}{1^2}.$$

Так как $\ln 1 = 0$, получаем:

$$f'(1) = \frac{1 — 0}{1} = 1.$$

2.4. Ответ:

Значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0 = 1$ равно:

$$\boxed{1}.$$

3. Задача: $f(x) = x^{-3} \cdot \frac{2}{x^2} + 3x$ и $x_0 = 3$

3.1. Формулировка задачи:

Нам нужно найти производную функции $f(x) = x^{-3} \cdot \frac{2}{x^2} + 3x$ и вычислить её значение в точке $x_0 = 3$.

3.2. Упрощение функции:

Прежде чем дифференцировать, упростим функцию:

$$f(x) = x^{-3} \cdot \frac{2}{x^2} + 3x = 2x^{-5} + 3x.$$

3.3. Нахождение производной функции:

Теперь вычислим производную функции $f(x) = 2x^{-5} + 3x$. Используем стандартные правила дифференцирования:

• Производная от $2x^{-5}$ равна $-10x^{-6}$,
• Производная от $3x$ равна 3.

Таким образом, производная функции $f(x)$ будет:

$$f'(x) = -10x^{-6} + 3.$$

3.4. Вычисление значения производной в точке $x_0 = 3$:

Теперь подставим $x_0 = 3$ в выражение для производной $f'(x) = -10x^{-6} + 3$:

$$f'(3) = -10 \cdot 3^{-6} + 3 = -10 \cdot \frac{1}{729} + 3.$$

Вычислим:

$$f'(3) = -\frac{10}{729} + 3 = 3 — \frac{10}{729} = \frac{2187}{729} — \frac{10}{729} = \frac{2177}{729}.$$

Преобразуем дробь в смешанное число:

$$\frac{2177}{729} = 3 \frac{3}{729} = 3 \frac{1}{9}.$$

3.5. Ответ:

Значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0 = 3$ равно:

$$\boxed{3 \frac{1}{9}}.$$

4. Задача: $f(x) = \frac{\cos x}{\sin x}$ и $x_0 = \frac{\pi}{4}$

4.1. Формулировка задачи:

Нам нужно найти производную функции $f(x) = \frac{\cos x}{\sin x}$ и вычислить её значение в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

4.2. Нахождение производной функции:

Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{\cos x}{\sin x}$, используем правило дифференцирования частного:

$$f'(x) = \frac{(\cos x)’ \cdot \sin x — \cos x \cdot (\sin x)’}{\sin^2 x}.$$

Найдем производные:

• Производная от $\cos x$ равна $-\sin x$,
• Производная от $\sin x$ равна $\cos x$.

Подставляем в формулу:

$$f'(x) = \frac{-\sin x \cdot \sin x — \cos x \cdot \cos x}{\sin^2 x}.$$

Упростим:

$$f'(x) = -\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x} = -\frac{1}{\sin^2 x}.$$

4.3. Вычисление значения производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$:

Теперь подставим $x_0 = \frac{\pi}{4}$ в выражение для производной:

$$f’\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{\sin^2 \frac{\pi}{4}}.$$

Так как $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, то:

$$f’\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = -\frac{1}{\frac{1}{2}} = -2.$$

4.4. Ответ:

Значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$ равно:

$$\boxed{-2}.$$

Итоговое решение:

1. Ответ для первой задачи: $1$.
2. Ответ для второй задачи: $1$.
3. Ответ для третьей задачи: $3 \frac{1}{9}$.
4. Ответ для четвертой задачи: $-2$.