ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 596 Алимов — Подробные Ответы

1. (4 sin x — 3) (2 sin x + 1) = 0;
2. (4 sin Зх — 1) (2 sin x + 3) = 0.

$(4 \sin x — 3)(2 \sin x + 1) = 0$

Первое уравнение:
$4 \sin x — 3 = 0;$
$4 \sin x = 3;$
$\sin x = \frac{3}{4};$
$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{3}{4} + \pi n;$

Второе уравнение:
$2 \sin x + 1 = 0;$
$\sin x = -1;$
$\sin x = -\frac{1}{2};$
$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$

Ответ: $(-1)^n \cdot \arcsin \frac{3}{4} + \pi n$; $(-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$.

$(4 \sin 3x — 1)(2 \sin x + 3) = 0$

Первое уравнение:
$4 \sin 3x — 1 = 0;$
$4 \sin 3x = 1;$
$\sin 3x = \frac{1}{4};$
$3x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{4} + \pi n;$
$x = (-1)^n \cdot \frac{1}{3} \arcsin \frac{1}{4} + \frac{\pi n}{3};$

Второе уравнение:
$2 \sin x + 3 = 0;$
$2 \sin x = -3;$
$\sin x = -\frac{3}{2} \quad \text{(корней нет)};$

Ответ: $(-1)^n \cdot \frac{1}{3} \arcsin \frac{1}{4} + \frac{\pi n}{3}$.

1) $(4 \sin x — 3)(2 \sin x + 1) = 0$

Это произведение двух выражений, равное нулю. Согласно свойствам умножения, если произведение равно нулю, то хотя бы одно из множителей должно быть равно нулю. То есть, решаем два уравнения:

1. $4 \sin x — 3 = 0$
2. $2 \sin x + 1 = 0$

Первый случай: $4 \sin x — 3 = 0$

1. Исходное уравнение:

   $$4 \sin x — 3 = 0$$

2. Переносим -3 на правую сторону:

   $$4 \sin x = 3$$

3. Теперь делим обе части на 4:

   $$\sin x = \frac{3}{4}$$

4. Это уравнение имеет решение для $x$, которое можно выразить через арксинус:

   $$x = \arcsin \frac{3}{4}$$

   Поскольку синус — это периодическая функция с периодом $2\pi$, то решения будут иметь вид:

   $$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{3}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

   Это выражение показывает, что $x$ принимает значения как на основной, так и на противоположной ветви синуса, с шагом $\pi$ из-за периодичности синуса.

Второй случай: $2 \sin x + 1 = 0$

1. Исходное уравнение:

   $$2 \sin x + 1 = 0$$

2. Переносим 1 на правую сторону:

   $$2 \sin x = -1$$

3. Делаем деление на 2:

   $$\sin x = -\frac{1}{2}$$

4. Для уравнения $\sin x = -\frac{1}{2}$ находим соответствующие значения $x$, используя арксинус:

   $$x = \arcsin \left( -\frac{1}{2} \right)$$

   Известно, что $\arcsin \left( -\frac{1}{2} \right) = -\frac{\pi}{6}$, поэтому:

   $$x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

   Это выражение учитывает периодичность синуса и то, что значения синуса симметричны относительно оси $x = 0$.

Ответ для первого уравнения:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{3}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ $$x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

2) $(4 \sin 3x — 1)(2 \sin x + 3) = 0$

Это также произведение двух выражений. Решаем два уравнения:

1. $4 \sin 3x — 1 = 0$
2. $2 \sin x + 3 = 0$

Первый случай: $4 \sin 3x — 1 = 0$

1. Исходное уравнение:

   $$4 \sin 3x — 1 = 0$$

2. Переносим -1 на правую сторону:

   $$4 \sin 3x = 1$$

3. Делим обе части на 4:

   $$\sin 3x = \frac{1}{4}$$

4. Теперь, используя арксинус, решаем для $3x$:

   $$3x = \arcsin \frac{1}{4}$$

   Поскольку синус — это периодическая функция, решение для $3x$ будет иметь вид:

   $$3x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

5. Теперь делим обе части на 3, чтобы найти $x$:

   $$x = (-1)^n \cdot \frac{1}{3} \arcsin \frac{1}{4} + \frac{\pi n}{3}$$

Второй случай: $2 \sin x + 3 = 0$

1. Исходное уравнение:

   $$2 \sin x + 3 = 0$$

2. Переносим 3 на правую сторону:

   $$2 \sin x = -3$$

3. Делаем деление на 2:

   $$\sin x = -\frac{3}{2}$$

4. Однако $\sin x$ не может быть меньше -1 или больше 1, так как значения синуса ограничены интервалом $[-1, 1]$. Следовательно, корней для этого уравнения нет.

Ответ для второго уравнения:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{1}{3} \arcsin \frac{1}{4} + \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Итоговые ответы:

1. $(-1)^n \cdot \arcsin \frac{3}{4} + \pi n, \quad (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$
2. $(-1)^n \cdot \frac{1}{3} \arcsin \frac{1}{4} + \frac{\pi n}{3}$