ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 539 Алимов — Подробные Ответы

Преобразовать в произведение

1. 1 + 2 sin а;
2. 1 — 2 sin а;
3. 1 + 2 cos а;
4. 1 + sin а.

1.

$$1 + 2 \sin a = 2 \cdot \left( \frac{1}{2} + \sin a \right) = 2 \cdot (\sin 30^\circ + \sin a) =$$ $$= 2 \cdot 2 \cdot \sin \frac{30^\circ + a}{2} \cdot \cos \frac{30^\circ — a}{2} = 4 \cdot \sin \left( 15^\circ + \frac{a}{2} \right) \cdot \cos \left( 15^\circ — \frac{a}{2} \right);$$

2.

$$1 — 2 \sin a = 2 \cdot \left( \frac{1}{2} — \sin a \right) = 2 \cdot (\sin 30^\circ — \sin a) =$$ $$= 2 \cdot 2 \cdot \sin \frac{30^\circ — a}{2} \cdot \cos \frac{30^\circ + a}{2} = 4 \cdot \sin \left( 15^\circ — \frac{a}{2} \right) \cdot \cos \left( 15^\circ + \frac{a}{2} \right);$$

3.

$$1 + 2 \cos a = 2 \cdot \left( \frac{1}{2} + \cos a \right) = 2 \cdot (\cos 60^\circ + \cos a) =$$ $$= 2 \cdot 2 \cdot \cos \frac{60^\circ + a}{2} \cdot \cos \frac{60^\circ — a}{2} = 4 \cdot \cos \left( 30^\circ + \frac{a}{2} \right) \cdot \cos \left( 30^\circ — \frac{a}{2} \right);$$

4.

$$1 + \sin a = \sin 90^\circ + \sin a = 2 \cdot \sin \frac{90^\circ + a}{2} \cdot \cos \frac{90^\circ — a}{2} =$$ $$= 2 \cdot \sin \left( 45^\circ + \frac{a}{2} \right) \cdot \cos \left( 45^\circ — \frac{a}{2} \right);$$

1)

$$1 + 2 \sin a$$

Шаг 1: Преобразуем число 1 в $2 \cdot \frac{1}{2}$

$$1 + 2 \sin a = 2 \cdot \left( \frac{1}{2} + \sin a \right)$$

Шаг 2: Подставим $\frac{1}{2} = \sin 30^\circ$

$$2 \cdot (\sin 30^\circ + \sin a)$$

Шаг 3: Применим формулу суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \cdot \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Пусть:

• $A = 30^\circ$
• $B = a$

Тогда:

• $\frac{A + B}{2} = \frac{30^\circ + a}{2} = 15^\circ + \frac{a}{2}$
• $\frac{A — B}{2} = \frac{30^\circ — a}{2} = 15^\circ — \frac{a}{2}$

Подставляем:

$$2 \cdot 2 \cdot \sin \left( 15^\circ + \frac{a}{2} \right) \cdot \cos \left( 15^\circ — \frac{a}{2} \right)$$

Ответ:

$$4 \cdot \sin \left( 15^\circ + \frac{a}{2} \right) \cdot \cos \left( 15^\circ — \frac{a}{2} \right)$$

2)

$$1 — 2 \sin a$$

Шаг 1: Преобразуем:

$$1 — 2 \sin a = 2 \cdot \left( \frac{1}{2} — \sin a \right)$$

Шаг 2: Подставим $\frac{1}{2} = \sin 30^\circ$

$$2 \cdot (\sin 30^\circ — \sin a)$$

Шаг 3: Применим формулу разности синусов:

$$\sin A — \sin B = 2 \cdot \sin \left( \frac{A — B}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{A + B}{2} \right)$$

Пусть:

• $A = 30^\circ$
• $B = a$

Вычисляем:

• $\frac{A — B}{2} = \frac{30^\circ — a}{2} = 15^\circ — \frac{a}{2}$
• $\frac{A + B}{2} = \frac{30^\circ + a}{2} = 15^\circ + \frac{a}{2}$

Подставляем:

$$2 \cdot 2 \cdot \sin \left( 15^\circ — \frac{a}{2} \right) \cdot \cos \left( 15^\circ + \frac{a}{2} \right)$$

Ответ:

$$4 \cdot \sin \left( 15^\circ — \frac{a}{2} \right) \cdot \cos \left( 15^\circ + \frac{a}{2} \right)$$

3)

$$1 + 2 \cos a$$

Шаг 1: Преобразуем:

$$1 + 2 \cos a = 2 \cdot \left( \frac{1}{2} + \cos a \right)$$

Шаг 2: Подставим $\frac{1}{2} = \cos 60^\circ$

$$2 \cdot (\cos 60^\circ + \cos a)$$

Шаг 3: Применим формулу суммы косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cdot \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Пусть:

• $A = 60^\circ$
• $B = a$

Вычисляем:

• $\frac{A + B}{2} = \frac{60^\circ + a}{2} = 30^\circ + \frac{a}{2}$
• $\frac{A — B}{2} = \frac{60^\circ — a}{2} = 30^\circ — \frac{a}{2}$

Подставляем:

$$2 \cdot 2 \cdot \cos \left( 30^\circ + \frac{a}{2} \right) \cdot \cos \left( 30^\circ — \frac{a}{2} \right)$$

Ответ:

$$4 \cdot \cos \left( 30^\circ + \frac{a}{2} \right) \cdot \cos \left( 30^\circ — \frac{a}{2} \right)$$

4)

$$1 + \sin a$$

Шаг 1: Представим 1 как $\sin 90^\circ$

$$\sin 90^\circ + \sin a$$

Шаг 2: Применим формулу суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \cdot \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Пусть:

• $A = 90^\circ$
• $B = a$

Вычисляем:

• $\frac{A + B}{2} = \frac{90^\circ + a}{2} = 45^\circ + \frac{a}{2}$
• $\frac{A — B}{2} = \frac{90^\circ — a}{2} = 45^\circ — \frac{a}{2}$

Подставляем:

$$2 \cdot \sin \left( 45^\circ + \frac{a}{2} \right) \cdot \cos \left( 45^\circ — \frac{a}{2} \right)$$

Ответ:

$$2 \cdot \sin \left( 45^\circ + \frac{a}{2} \right) \cdot \cos \left( 45^\circ — \frac{a}{2} \right)$$