ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 274 Алимов — Подробные Ответы

1. 3^log3(18);
2. 5^log5(16);
3. 10^log10(2);
4. (1/4)^log1/4(6).

Определение логарифма можно записать так: $a^{\log_{a} b} = b$;

1. $3^{\log_{3} 18} = 18$;
2. $5^{\log_{5} 16} = 16$;
3. $10^{\log_{10} 2} = 2$;
4. $\left( \frac{1}{4} \right)^{\log_{\frac{1}{4}} 6} = 6$;

1) $3^{\log_3 18}$

Шаг 1: Что такое логарифм?

Логарифм $\log_3 18$ означает степень, в которую нужно возвести число 3, чтобы получить 18. То есть:

$$\log_3 18 = x \quad \text{значит} \quad 3^x = 18$$

В этой ситуации $x$ — это некое число, которое удовлетворяет уравнению $3^x = 18$.

Шаг 2: Свойство логарифмов

Используем важное свойство логарифмов:

$$a^{\log_a b} = b$$

Где $a$ — основание логарифма, а $b$ — аргумент логарифма. Это свойство говорит, что если мы возводим основание логарифма $a$ в степень, равную логарифму числа $b$ по основанию $a$, то результат будет равен $b$.

Шаг 3: Применение свойства

В нашем случае основание логарифма $a = 3$, и аргумент логарифма $b = 18$. Применяя свойство, получаем:

$$3^{\log_3 18} = 18$$

Таким образом, выражение $3^{\log_3 18}$ равно 18.

Ответ:

$$3^{\log_3 18} = 18$$

2) $5^{\log_5 16}$

Шаг 1: Что такое логарифм?

Логарифм $\log_5 16$ означает степень, в которую нужно возвести число 5, чтобы получить 16. То есть:

$$\log_5 16 = x \quad \text{значит} \quad 5^x = 16$$

В этой ситуации $x$ — это некое число, которое удовлетворяет уравнению $5^x = 16$.

Шаг 2: Свойство логарифмов

Как и в предыдущем примере, используем свойство логарифмов:

$$a^{\log_a b} = b$$

Здесь $a = 5$ и $b = 16$. Следовательно:

$$5^{\log_5 16} = 16$$

Ответ:

$$5^{\log_5 16} = 16$$

3) $10^{\log_{10} 2}$

Шаг 1: Что такое логарифм?

Логарифм $\log_{10} 2$ означает степень, в которую нужно возвести число 10, чтобы получить 2. То есть:

$$\log_{10} 2 = x \quad \text{значит} \quad 10^x = 2$$

В этой ситуации $x$ — это некое число, которое удовлетворяет уравнению $10^x = 2$.

Шаг 2: Свойство логарифмов

Для любого положительного числа $a$, которое не равно 1, выполняется следующее свойство логарифмов:

$$a^{\log_a b} = b$$

Здесь основание логарифма $a = 10$, и аргумент логарифма $b = 2$. Таким образом, применяя это свойство:

$$10^{\log_{10} 2} = 2$$

Ответ:

$$10^{\log_{10} 2} = 2$$

4) $\left( \frac{1}{4} \right)^{\log_{\frac{1}{4}} 6}$

Шаг 1: Что такое логарифм?

Логарифм $\log_{\frac{1}{4}} 6$ означает степень, в которую нужно возвести число $\frac{1}{4}$, чтобы получить 6. То есть:

$$\log_{\frac{1}{4}} 6 = x \quad \text{значит} \quad \left( \frac{1}{4} \right)^x = 6$$

В этой ситуации $x$ — это некое число, которое удовлетворяет уравнению $\left( \frac{1}{4} \right)^x = 6$.

Шаг 2: Свойство логарифмов

Применим то же свойство логарифмов, что и в предыдущих случаях:

$$a^{\log_a b} = b$$

Здесь $a = \frac{1}{4}$ и $b = 6$. Применяя это свойство, получаем:

$$\left( \frac{1}{4} \right)^{\log_{\frac{1}{4}} 6} = 6$$

Ответ:

$$\left( \frac{1}{4} \right)^{\log_{\frac{1}{4}} 6} = 6$$

Мы подробно рассмотрели каждое выражение и применили свойство логарифмов. Все выражения сводятся к использованию стандартного логарифмического свойства $a^{\log_a b} = b$, и в каждом случае результат оказался равным числу, от которого берется логарифм.

Ответы:

1. $3^{\log_3 18} = 18$
2. $5^{\log_5 16} = 16$
3. $10^{\log_{10} 2} = 2$
4. $\left( \frac{1}{4} \right)^{\log_{\frac{1}{4}} 6} = 6$