ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1620 Алимов — Подробные Ответы

Найти все значения х, при которых функция у = 6 cos2 х + + 6 sin х — 2 принимает наибольшее значение.

Дана функция:

$$y=6{\cos }^{2}x+6\sin x-2;$$

Производная функции:

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=6({\cos }^{2}x{)}^{\mathrm{\prime }}+6(\sin x{)}^{\mathrm{\prime }}-(2{)}^{\mathrm{\prime }};$$$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=6\cdot (-\sin x\cdot 2\cos x)+6\cos x;$$$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=-12\sin x\cdot \cos x+6\cos x;$$

Стационарные точки:

$$-12\sin x\cdot \cos x+6\cos x=0;$$$$6\cos x\cdot (1-2\sin x)=0;$$

Первое уравнение:

$$6\cos x=0;$$$$\cos x=0;$$$$x=\arccos 0+\pi n=\frac{\pi }{2}+\pi n;$$

Второе уравнение:

$$2-2\sin x=0;$$$$2\sin x=1;$$$$\sin x=\frac{1}{2};$$$$x=(-1{)}^n\cdot \arcsin \frac{1}{2}+\pi n=(-1{)}^n\cdot \frac{\pi }{6}+\pi n;$$

Значения функции:

$$f\left(\frac{\pi }{2}\right)=6{\cos }^2\frac{\pi }{2}+6\sin \frac{\pi }{2}-2=6\cdot 0^2+6\cdot 1-2=6-2=4;$$$$f(\frac{\pi }{2}+\pi )=6(-\sin \pi {)}^2+6\cos \pi -2=6\cdot 0^2-6\cdot 1-2=-6-2=-8;$$$$f\left(\frac{\pi }{6}\right)=6{\cos }^2\frac{\pi }{6}+6\sin \frac{\pi }{6}-2=6\cdot \frac{3}{4}+6\cdot \frac{1}{2}-2=4,5+3-2=5,5;$$$$f(\pi -\frac{\pi }{6})=6{(-\cos \frac{\pi }{6})}^2+6\sin \frac{\pi }{6}-2=6\cdot \left(\frac{3}{4}\right)+6\cdot \frac{1}{2}-2=4,5+3-2=5,5;$$

Ответ: $x=(-1{)}^n\cdot \frac{\pi }{6}+\pi n$

Функция $y=6{\cos }^{2}x+6\sin x-2$, где $x$ — переменная, $y$ — значение функции. Задача состоит в нахождении стационарных точек функции и ее значений в этих точках.

Шаг 1: Найдем производную функции

Нам нужно найти производную функции $y=6{\cos }^{2}x+6\sin x-2$. Для этого воспользуемся правилами дифференцирования.

1. Производная ${\cos }^{2}x$:
   Используем цепное правило для дифференцирования: 

   $$\frac{d}{dx}({\cos }^{2}x)=2\cos x\cdot \frac{d}{dx}(\cos x)=2\cos x\cdot (-\sin x)=-2\sin x\cos x$$

2. Производная $\sin x$:
   Это стандартная производная: 

   $$\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x$$

Теперь, дифференцируем всю функцию $y=6{\cos }^{2}x+6\sin x-2$:

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=6\cdot \frac{d}{dx}({\cos }^{2}x)+6\cdot \frac{d}{dx}(\sin x)-\frac{d}{dx}(2)$$$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=6\cdot (-2\sin x\cos x)+6\cos x$$$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=-12\sin x\cos x+6\cos x$$

Таким образом, производная функции:

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=-12\sin x\cos x+6\cos x$$

Шаг 2: Найдем стационарные точки

Стационарные точки функции — это точки, в которых производная функции равна нулю. Мы ищем такие значения $x$, при которых:

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=0$$

Подставим выражение для производной:

$$-12\sin x\cos x+6\cos x=0$$

Можно вынести общий множитель $6\cos x$:

$$6\cos x\cdot (-2\sin x+1)=0$$

Теперь, чтобы это произведение было равно нулю, один из множителей должен быть равен нулю. Разберем два случая:

1. $6\cos x=0$

Это означает, что $\cos x=0$. Решения для $\cos x=0$ следующие:

$$x=\arccos 0+\pi n=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$$

Это выражение дает все точки, где $\cos x=0$, то есть $x=\frac{\pi }{2}+\pi n$, где $n$ — целое число.

2. $-2\sin x+1=0$

Решаем это уравнение:

$$-2\sin x+1=0$$$$2\sin x=1$$$$\sin x=\frac{1}{2}$$

Решения для $\sin x=\frac{1}{2}$ следующие:

$$x=(-1{)}^n\cdot \arcsin \frac{1}{2}+\pi n=(-1{)}^n\cdot \frac{\pi }{6}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$$

Это выражение дает все точки, где $\sin x=\frac{1}{2}$, то есть $x=(-1{)}^n\cdot \frac{\pi }{6}+\pi n$, где $n$ — целое число.

Шаг 3: Находим значения функции в стационарных точках

Теперь, зная все стационарные точки, вычислим значения функции в этих точках.

В точке $x=\frac{\pi }{2}$:
Подставим $x=\frac{\pi }{2}$ в исходную функцию $y=6{\cos }^{2}x+6\sin x-2$:

$$f\left(\frac{\pi }{2}\right)=6{\cos }^2\frac{\pi }{2}+6\sin \frac{\pi }{2}-2$$$$f\left(\frac{\pi }{2}\right)=6\cdot 0^2+6\cdot 1-2=0+6-2=4$$

В точке $x=\frac{\pi }{2}+\pi$:
Подставим $x=\frac{\pi }{2}+\pi$ в функцию:

$$f(\frac{\pi }{2}+\pi )=6\cdot (-\sin \pi {)}^2+6\cos \pi -2$$$$f(\frac{\pi }{2}+\pi )=6\cdot 0^2+6\cdot (-1)-2=0-6-2=-8$$

В точке $x=\frac{\pi }{6}$:
Подставим $x=\frac{\pi }{6}$ в исходную функцию:

$$f\left(\frac{\pi }{6}\right)=6{\cos }^2\frac{\pi }{6}+6\sin \frac{\pi }{6}-2$$$$f\left(\frac{\pi }{6}\right)=6\cdot {\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+6\cdot \frac{1}{2}-2=6\cdot \frac{3}{4}+3-2=4.5+3-2=5.5$$

В точке $x=\pi -\frac{\pi }{6}$:
Подставим $x=\pi -\frac{\pi }{6}$ в функцию:

$$f(\pi -\frac{\pi }{6})=6{(-\cos \frac{\pi }{6})}^2+6\sin \frac{\pi }{6}-2$$$$f(\pi -\frac{\pi }{6})=6\cdot {\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+6\cdot \frac{1}{2}-2=6\cdot \frac{3}{4}+3-2=4.5+3-2=5.5$$

Шаг 4: Ответ

Таким образом, стационарные точки функции определяются выражением:

$$x=(-1{)}^n\cdot \frac{\pi }{6}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$$

Значения функции в этих точках:

• $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=4$
• $f(\frac{\pi }{2}+\pi )=-8$
• $f\left(\frac{\pi }{6}\right)=5.5$
• $f(\pi -\frac{\pi }{6})=5.5$

Ответ: $x=(-1{)}^n\cdot \frac{\pi }{6}+\pi n$