ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 127 Алимов — Подробные Ответы

Изобразить схематически график функции и найти её область определения и множество значений; выяснить, является ли функция возрастающей (убывающей), ограниченной сверху (снизу):

1. у = (х — 2)7;
2. у = (х + 1 )6;
3. у = (х + 2)^-2;
4. у = (х-1)^-3.

1) $y = (x — 2)^7$

График данной функции является графиком функции $y = x^7$, сдвинутым вдоль оси абсцисс на 2 единицы вправо, значит:

• Область определения: $x\in \mathbb{R}$
• Множество значений: $y\in \mathbb{R}$$$
• Функция является возрастающей;
• Функция не является ограниченной;

Схематический график функции:

2) $y = (x + 1)^5$

График данной функции является графиком функции $y = x^5$, сдвинутым вдоль оси абсцисс на 1 единицу влево, значит:

• Область определения: $x\in \mathbb{R}$$$
• Множество значений: $y\in \mathbb{R}$$$
• Функция является возрастающей;
• Функция не является ограниченной;

Схематический график функции:

3) $y = (x + 2)^{-2}$

График данной функции является графиком функции $y = x^{-2}$, сдвинутым вдоль оси абсцисс на 2 единицы влево, значит:

• Область определения: $x\mathrm{\ne }-2$$$
• Множество значений: $y>0$
• Функция возрастает на $(-\mathrm{\infty };-2)$ и убывает на $(-2;+\mathrm{\infty })$
• Функция ограничена снизу;

Схематический график функции:

4) $y = (x — 1)^{-3}$

График данной функции является графиком функции $y = x^{-3}$, сдвинутым вдоль оси абсцисс на 1 единицу вправо, значит:

• Область определения: $x\mathrm{\ne }1$
• Множество значений: $y\mathrm{\ne }0$$$
• Функция убывает на всей области определения;
• Функция не является ограниченной;

Схематический график функции:

Ответ:$$\boxed{ \text{1) } y = (x — 2)^7; \quad \text{2) } y = (x + 1)^5; \quad \text{3) } y = (x + 2)^{-2}; \quad \text{4) } y = (x — 1)^{-3}. }$$

1) Функция $y = (x — 2)^7$

Анализ функции

Данная функция представляет собой степенную функцию вида $y=x^7$, но сдвинутую вдоль оси X на 2 единицы вправо.

Число 7 – нечетное, значит, функция сохраняет свойство исходной степени:

• Определена на всей числовой прямой $x\in \mathbb{R}$$$
• Значения могут принимать любые числа: $y\in \mathbb{R}$$$
• Функция является возрастающей на всей области определения.
• Не является ограниченной, поскольку $y\to +\mathrm{\infty }$ при $x\to +\mathrm{\infty }$ и $y\to -\mathrm{\infty }$ при $x\to -\mathrm{\infty }$.

Исследование поведения функции

При $x = 2$:

$$y = (2 — 2)^7 = 0$$

Точка $(2, 0)$ – корень функции.

При больших значениях $x$:

• Если $x>2$, то выражение $(x-2)$ положительно, а его седьмая степень тоже положительна.
• Если $x\to +\mathrm{\infty }$, то $y\to +\mathrm{\infty }$.

При малых значениях $x$:

• Если $x<2$, то выражение $(x-2)$ отрицательно, а его седьмая степень тоже отрицательна.
• Если $x\to -\mathrm{\infty }$, то $y\to -\mathrm{\infty }$.

Вывод

• График пересекает ось X в точке ($$2,0)(2, 0)
• Функция возрастает на всей области определения.
• Ограничений по значениям нет.

2) Функция $y = (x + 1)^5$

Анализ функции

Данная функция представляет собой степенную функцию $y=x^5$, но сдвинутую на 1 единицу влево.

Число 5 – нечетное, значит:

• Функция определена на всей числовой прямой $x\in \mathbb{R}$$$
• Функция принимает любые значения: $y\in \mathbb{R}$
• Является возрастающей.
• Неограниченна, поскольку $y\to +\mathrm{\infty }$ при $x\to +\mathrm{\infty }$ и $y\to -\mathrm{\infty }$ при $x\to -\mathrm{\infty }$.

Исследование поведения функции

При $x = -1$:

$$y = (-1 + 1)^5 = 0$$

Точка $(-1, 0)$ – корень функции.

При больших $x$:

• Если $x>-1$, то $(x+1)$ положительно, значит, его пятая степень тоже положительна.
• Если $x\to +\mathrm{\infty }$, то $y\to +\mathrm{\infty }$.

При малых $x$:

• Если $x<-1$, то $(x+1)$ отрицательно, а его пятая степень тоже отрицательна.
• Если $x\to -\mathrm{\infty }$, то $y\to -\mathrm{\infty }$.

Вывод

• График проходит через точку ($$−1,0)(-1, 0)
• Функция возрастает на всей числовой прямой.
• Значения неограниченны.

3) Функция $y = (x + 2)^{-2}$

Анализ функции

Эта функция является вариантом степенной функции $y=x^{-2}$, но сдвинутой на 2 единицы влево.

Степень -2 – четная и отрицательная, значит:

• Функция определена всюду, кроме точки $x=-2$
• Значения всегда положительны: $y>0$$$
• Функция убывает на $(-2;+\mathrm{\infty })$ и возрастает на $(-\mathrm{\infty };-2).$$(-\infty; -2)$
• Ограничена снизу: $y>0$$$

Исследование поведения функции

При $x = -2$:

• Выражение $(x+2{)}^{-2}$ не определено.
• На графике разрыв в точке $x=-2$.$$

При $x\to -\mathrm{\infty }$:

• $(x + 2)$
• При возведении в степень -2 значение стремится к 0.

При $x \to +\infty$:

• $(x + 2)$
• При возведении в степень -2 значение также стремится к 0.

При $x \to -2$ слева и справа:

Значение стремится к +∞.

Вывод

• Функция разрывна в точке $x=-2$
• Возрастает на $(-\mathrm{\infty };-2)$ и убывает на $(-2;+\mathrm{\infty })$
• Ограничена снизу: $y>0$
  $y > 0$

4) Функция $y = (x — 1)^{-3}$

Анализ функции

Эта функция является вариантом $y=x^{-3}$, но сдвинутой на 1 вправо.

Степень -3 – нечетная, значит:

• Функция определена всюду, кроме точки x$x = 1$
• Значения могут быть положительными и отрицательными: $y\mathrm{\ne }0$.$$
• Функция убывает на всей области определения.
• Не является ограниченной.

Исследование поведения функции

При $x = 1$:

• Выражение $(x-1{)}^{-3}$ не определено.$$
• График имеет разрыв в этой точке.

При $x \to -\infty$:

• $(x — 1)$ сильно отрицательно.
• Возведение в степень -3 дает значения, стремящиеся к 0.

При $x \to +\infty$:

• $(x — 1)$ становится большим.
• Значение стремится к 0.

При $x \to 1^-$ и $x \to 1^+$:

Значение резко уходит в +∞ или -∞.

Вывод

• Функция убывает на всей области определения.
• Разрыв в точке $x=1$$x = 1$
• Значения могут быть как положительными, так и отрицательными.

Ответ$$\boxed{ \text{1) } y = (x — 2)^7; \quad \text{2) } y = (x + 1)^5; \quad \text{3) } y = (x + 2)^{-2}; \quad \text{4) } y = (x — 1)^{-3}. }$$