ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 643 Алимов — Подробные Ответы

1. корень (5cosx-cos2x) = -2sinx;
2. корень (cosx-cos3x) = — корень 2cosx.

1. $\sqrt{5 \cos x — \cos 2x} = -2 \sin x$;

$5 \cos x — \cos 2x = 4 \sin^2 x$;

$5 \cos x — (\cos^2 x — \sin^2 x) — 4 \sin^2 x = 0$;

$5 \cos x — \cos^2 x + \sin^2 x — 4(1 — \cos^2 x) = 0$;

$5 \cos x — \cos^2 x + \sin^2 x — 4 + 4 \cos^2 x = 0$;

$5 \cos x + 3 \cos^2 x + \sin^2 x — 4 = 0$;

$5 \cos x + 1 + 2 \cos^2 x — 4 = 0$;

$2 \cos^2 x + 5 \cos x — 3 = 0$;

Пусть $y = \cos x$, тогда:

$2y^2 + 5y — 3 = 0$;

$D = 5^2 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 + 24 = 49$, тогда:

$y_1 = \frac{-5 — 7}{2 \cdot 2} = -3$ и $y_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}$;

Первое уравнение:

$\cos x = -3$ — корней нет;

Второе уравнение:

$\cos x = \frac{1}{2}$;

$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$;

Выполним проверку:

$-2 \sin \left( -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \right) = 2 \sin \frac{\pi}{3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$;

$-2 \sin \left( \frac{\pi}{3} + 2\pi n \right) = -2 \sin \frac{\pi}{3} = -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}$ — не подходит;

Ответ: $-\frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

2. $\sqrt{\cos x + \cos 3x} = -\sqrt{2} \cos x$;

$\sqrt{2 \cdot \cos \frac{3x + x}{2} \cdot \cos \frac{3x — x}{2}} = -\sqrt{2} \cos x$;

$\sqrt{\cos 2x \cdot \cos x} = -\cos x$;

$(\cos^2 x — \sin^2 x) \cdot \cos x = \cos^2 x$;

$(\cos^2 x — (1 — \cos^2 x)) \cdot \cos x = \cos^2 x$;

$(2 \cos^2 x — 1) \cdot \cos x — \cos^2 x = 0$;

$\cos x \cdot (2 \cos^2 x — \cos x — 1) = 0$;

Пусть $y = \cos x$, тогда:

$2y^2 — y — 1 = 0$;

$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$, тогда:

$y_1 = \frac{1 — 3}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2}$ и $y_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = 1$;

Первое уравнение:

$\cos x = 0$;

$x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

Второе уравнение:

$\cos x = -\frac{1}{2}$;

$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$;

Третье уравнение:

$\cos x = 1$;

$x = \arccos 1 + \pi n = \pi n$;

Выполним проверку:

$-\sqrt{2} \cos \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = -\sqrt{2} \cdot 0 = 0$;

$-\sqrt{2} \cos \left( \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right) = -\sqrt{2} \cos \left( \frac{2\pi}{3} \right) = -\sqrt{2} \cos \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) = \sqrt{2} \cos \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

$-\sqrt{2} \cos (\pi n) = -\sqrt{2} \cdot 1 = -\sqrt{2}$ — не подходит;

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n$; $\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

1) $\sqrt{5 \cos x — \cos 2x} = -2 \sin x$

Шаг 1: Преобразуем исходное уравнение.

Исходное уравнение:

$$\sqrt{5 \cos x — \cos 2x} = -2 \sin x$$

Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

$$5 \cos x — \cos 2x = 4 \sin^2 x$$

Шаг 2: Используем тригонометрические тождества.

Заменим $\cos 2x$ через формулу: $\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$. Получим:

$$5 \cos x — (\cos^2 x — \sin^2 x) = 4 \sin^2 x$$

Дальше преобразуем уравнение:

$$5 \cos x — \cos^2 x + \sin^2 x = 4 \sin^2 x$$

Переносим все выражения на одну сторону:

$$5 \cos x — \cos^2 x + \sin^2 x — 4 \sin^2 x = 0$$

Собираем подобные члены:

$$5 \cos x — \cos^2 x — 3 \sin^2 x = 0$$

Шаг 3: Преобразуем через $\cos^2 x$.

Используем тождество $\sin^2 x = 1 — \cos^2 x$, подставляем его в уравнение:

$$5 \cos x — \cos^2 x — 3(1 — \cos^2 x) = 0$$

Раскрываем скобки:

$$5 \cos x — \cos^2 x — 3 + 3 \cos^2 x = 0$$

Собираем подобные члены:

$$5 \cos x + 2 \cos^2 x — 3 = 0$$

Шаг 4: Обозначим $y = \cos x$ и решим квадратное уравнение.

Пусть $y = \cos x$, тогда у нас получается следующее квадратное уравнение:

$$2y^2 + 5y — 3 = 0$$

Вычислим дискриминант этого уравнения:

$$D = b^2 — 4ac = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$$

Найдем корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-5 — \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 — 7}{4} = -3$$ $$y_2 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{1}{2}$$

Шаг 5: Рассматриваем возможные значения $y$.

• $\cos x = -3$ — такого значения для $\cos x$ быть не может, так как $\cos x \in [-1, 1]$.
• $\cos x = \frac{1}{2}$ — это возможное решение.

Шаг 6: Находим $x$, используя $\cos x = \frac{1}{2}$.

Из уравнения $\cos x = \frac{1}{2}$ получаем:

$$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Шаг 7: Проверяем найденные значения.

Проверим, подходят ли полученные значения для исходного уравнения $\sqrt{5 \cos x — \cos 2x} = -2 \sin x$.

Для $x = \frac{\pi}{3}$, $\cos x = \frac{1}{2}$, и $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставляем в исходное уравнение:

$$\sqrt{5 \cdot \frac{1}{2} — \cos 2x} = -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Но при вычислениях получаем, что левая и правая части не совпадают, так как $\sqrt{5 \cdot \frac{1}{2} — \cos 2x}$ не дает нужного значения.

Для $x = -\frac{\pi}{3}$, $\cos x = \frac{1}{2}$, и $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставляем в исходное уравнение:

$$\sqrt{5 \cdot \frac{1}{2} — \cos 2x} = -2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$

Получаем, что обе части уравнения равны. Следовательно, решение подходит.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

2) $\sqrt{\cos x + \cos 3x} = -\sqrt{2} \cos x$

Шаг 1: Преобразуем исходное уравнение.

Исходное уравнение:

$$\sqrt{\cos x + \cos 3x} = -\sqrt{2} \cos x$$

Возводим обе части в квадрат:

$$\cos x + \cos 3x = 2 \cos^2 x$$

Шаг 2: Используем тригонометрическое тождество для $\cos 3x$.

Заменим $\cos 3x$ через тождество:

$$\cos 3x = 4 \cos^3 x — 3 \cos x$$

Подставим это в уравнение:

$$\cos x + 4 \cos^3 x — 3 \cos x = 2 \cos^2 x$$

Собираем подобные члены:

$$4 \cos^3 x — 2 \cos x — 2 \cos^2 x = 0$$

Шаг 3: Решаем кубическое уравнение.

Вынесем $\cos x$ за скобки:

$$\cos x (4 \cos^2 x — 2 \cos x — 2) = 0$$

Решения для $\cos x = 0$ и $4 \cos^2 x — 2 \cos x — 2 = 0$:

$\cos x = 0$ — это $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Для $4 \cos^2 x — 2 \cos x — 2 = 0$, решим квадратное уравнение:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 4 + 32 = 36$$ $$\cos x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 4} = \frac{2 \pm 6}{8}$$

Получаем два значения для $\cos x$:

$$\cos x = 1 \quad \text{или} \quad \cos x = -\frac{1}{2}$$

Для $\cos x = 1$, $x = 2\pi n$.
Для $\cos x = -\frac{1}{2}$, $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

Шаг 4: Проверяем, что решения подходят для исходного уравнения.

Проверяем каждый случай, подставляя в исходное уравнение.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$; $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

Общий ответ:

1. $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$
2. $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$; $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$