ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1600 Алимов — Подробные Ответы

1. sin x + cos x = корень (1 + tg x);
2. корень (5 sin 2x — 2) = sin x — cos x.

1)

$$\sin x + \cos x = \sqrt{1 + \tg x};$$ $$(\sin x + \cos x)^2 = 1 + \tg x;$$ $$(\sin x + \cos x)^2 = \frac{\cos x}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x};$$ $$\frac{\cos x (\sin x + \cos x)^2 — (\cos x + \sin x)}{\cos x} = 0;$$ $$(\sin x + \cos x) \left( \frac{(\sin x + \cos x) \cdot \cos x — 1}{\cos x} \right) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin x + \cos x = 0 \quad | : \cos x;$$ $$\tg x + 1 = 0;$$ $$\tg x = -1;$$ $$x = -\arctg 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$(\sin x + \cos x) \cdot \cos x — 1 = 0;$$ $$\sin x \cdot \cos x + \cos^2 x — (\cos^2 x + \sin^2 x) = 0;$$ $$\sin x \cdot \cos x — \sin^2 x = 0;$$ $$\sin x \cdot (\cos x — \sin x) = 0;$$

Первое значение:

$$\sin x = 0;$$ $$x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$

Второе значение:

$$\cos x — \sin x = 0 \quad | : \cos x;$$ $$1 — \tg x = 0;$$ $$\tg x = 1;$$ $$x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\cos x \neq 0;$$ $$x \neq \arccos 0 + \pi n \neq \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Условие для корней:

$$1 + \tg x \geq 0;$$ $$\tg x \geq -1;$$ $$\arctg (-1) + \pi n \leq x < \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$-\frac{\pi}{4} + \pi n \leq x < \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Уравнение имеет решения при:

$$\sin x + \cos x \geq 0;$$ $$\sin x + \cos x = 0 \quad | : \cos x;$$ $$\tg x + 1 = 0;$$ $$\tg x = -1;$$ $$x = -\arctg 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$-\frac{\pi}{4} + 2\pi n \leq x \leq \frac{3\pi}{4} + 2\pi n;$$

Ответ:

$$-\frac{\pi}{4} + \pi n; \quad \pi n; \quad \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

2)

$$\sqrt{5 \sin 2x — 2} = \sin x — \cos x;$$ $$5 \sin 2x — 2 = (\sin x — \cos x)^2;$$ $$5 \sin 2x — 2 = \sin^2 x + \cos^2 x — 2 \sin x \cdot \cos x;$$ $$5 \sin 2x — 2 = 1 — \sin 2x;$$ $$6 \sin 2x = 3;$$ $$\sin 2x = \frac{1}{2};$$ $$2x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \left( (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n \right) = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2};$$ $$x_1 = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{2} \cdot (2n) = \frac{\pi}{12} + \pi n;$$ $$x_2 = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{2} \cdot (2n + 1) = -\frac{\pi}{12} + \pi n + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{12} + \pi n;$$

Выражение имеет смысл при:

$$5 \sin 2x — 2 \geq 0;$$ $$\sin 2x \geq \frac{2}{5};$$ $$\arcsin \frac{2}{5} + 2\pi n \leq 2x \leq \pi — \arcsin \frac{2}{5} + 2\pi n;$$ $$\frac{\pi}{7} + 2\pi n \leq 2x \leq \pi — \frac{\pi}{7} + 2\pi n;$$ $$\frac{\pi}{14} + \pi n \leq x \leq \frac{3\pi}{7} + \pi n;$$

Уравнение имеет решения при:

$$\sin x — \cos x \geq 0;$$ $$\sin x — \cos x = 0 \quad | : \cos x;$$ $$\tg x — 1 = 0;$$ $$\tg x = 1;$$ $$x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$\frac{\pi}{4} + 2\pi n \leq x \leq \frac{5\pi}{4} + 2\pi n;$$

Ответ:

$$\frac{5\pi}{12} + 2\pi n; \quad \frac{\pi}{12} + (2n + 1)\pi;$$

1. Решение первого уравнения

Дано уравнение:

$$\sin x + \cos x = \sqrt{1 + \tg x}.$$

Шаг 1. Возведем обе части в квадрат.

$$(\sin x + \cos x)^2 = (\sqrt{1 + \tg x})^2.$$

Сначала упростим правую часть:

$$(\sin x + \cos x)^2 = 1 + \tg x.$$

Шаг 2. Раскроем левую часть.

Используем формулу квадрата суммы:

$$(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x.$$

Поскольку $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ по основному тригонометрическому тождеству, получаем:

$$1 + 2 \sin x \cos x = 1 + \tg x.$$

Шаг 3. Упростим полученное выражение.

Избавимся от единиц с обеих сторон:

$$2 \sin x \cos x = \tg x.$$

Так как $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$, подставляем это в уравнение:

$$2 \sin x \cos x = \frac{\sin x}{\cos x}.$$

Шаг 4. Умножим обе части на $\cos x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$).

$$2 \sin x \cos^2 x = \sin x.$$

Шаг 5. Переносим все на одну сторону.

$$2 \sin x \cos^2 x — \sin x = 0.$$

Шаг 6. Вынесем $\sin x$ за скобки.

$$\sin x (2 \cos^2 x — 1) = 0.$$

Это уравнение имеет два возможных решения:

1. $\sin x = 0$,
2. $2 \cos^2 x — 1 = 0$.

Решение первого уравнения:

$$\sin x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Решение второго уравнения:

Решаем $2 \cos^2 x — 1 = 0$:

$$2 \cos^2 x = 1 \quad \Rightarrow \quad \cos^2 x = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \cos x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Таким образом, $\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ или $\cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$. В обоих случаях получаем:

$$x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Ответ:

$$x = \pi n \quad \text{или} \quad x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

2. Решение второго уравнения

Дано уравнение:

$$\sqrt{5 \sin 2x — 2} = \sin x — \cos x.$$

Шаг 1. Возводим обе части в квадрат.

$$5 \sin 2x — 2 = (\sin x — \cos x)^2.$$

Шаг 2. Раскрываем квадрат правой части.

$$(\sin x — \cos x)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x — 2 \sin x \cos x.$$

Используя тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем:

$$(\sin x — \cos x)^2 = 1 — 2 \sin x \cos x.$$

Шаг 3. Подставляем это в исходное уравнение.

$$5 \sin 2x — 2 = 1 — 2 \sin x \cos x.$$

Шаг 4. Выражаем $\sin 2x$.

Заменим $\sin 2x$ на $2 \sin x \cos x$ (по формуле удвоенного угла):

$$5 (2 \sin x \cos x) — 2 = 1 — 2 \sin x \cos x.$$

Упростим:

$$10 \sin x \cos x — 2 = 1 — 2 \sin x \cos x.$$

Шаг 5. Переносим все на одну сторону.

$$10 \sin x \cos x + 2 \sin x \cos x = 3.$$ $$12 \sin x \cos x = 3.$$

Шаг 6. Упростим.

$$\sin x \cos x = \frac{1}{4}.$$

Шаг 7. Используем формулу для $\sin 2x$.

Поскольку $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, подставляем это:

$$\sin 2x = \frac{1}{2}.$$

Шаг 8. Находим $x$.

$$2x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n.$$ $$x = \frac{1}{2} \left( (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n \right) = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}.$$

Шаг 9. Находим два возможных значения для $x$:

1. $x_1 = \frac{\pi}{12} + \pi n$,
2. $x_2 = \frac{5\pi}{12} + \pi n$.

Ответ:

$$x_1 = \frac{\pi}{12} + \pi n, \quad x_2 = \frac{5\pi}{12} + \pi n.$$$$x_1 = \frac{\pi}{12} + \pi n, \quad x_2 = \frac{5\pi}{12} + \pi n.$$