ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 664 Алимов — Подробные Ответы

1. 5 sin x + cos x = 5;
2. 4 sin x + 3 cos x = 6.

Задача 1:

$5 \sin x + \cos x = 5$;

$$5 \cdot 2 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} + \left( \cos^2 \frac{x}{2} — \sin^2 \frac{x}{2} \right) = 5 \cdot \left( \cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2} \right);$$ $$10 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} — \sin^2 \frac{x}{2} — 5 \cos^2 \frac{x}{2} — 5 \sin^2 \frac{x}{2} = 0;$$ $$10 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} — 6 \sin^2 \frac{x}{2} — 4 \cos^2 \frac{x}{2} = 0 \quad | : \cos^2 \frac{x}{2};$$ $$10 \operatorname{tg} \frac{x}{2} — 6 \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} — 4 = 0;$$

Пусть $y = \operatorname{tg} \frac{x}{2}$, тогда:

$$10y — 6y^2 — 4 = 0;$$ $$3y^2 — 5y + 2 = 0;$$ $$D = 5^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 — 24 = 1, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{5 — 1}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{5 + 1}{2 \cdot 3} = 1;$$

Первое уравнение:

$$\operatorname{tg} \frac{x}{2} = \frac{2}{3};$$ $$\frac{x}{2} = \operatorname{arctg} \frac{2}{3} + \pi n;$$ $$x = 2 \cdot \left( \operatorname{arctg} \frac{2}{3} + \pi n \right) = 2 \operatorname{arctg} \frac{2}{3} + 2 \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\operatorname{tg} \frac{x}{2} = 1;$$ $$\frac{x}{2} = \operatorname{arctg} 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$x = 2 \cdot \left( \frac{\pi}{4} + \pi n \right) = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n;$$

Ответ: $2 \operatorname{arctg} \frac{2}{3} + 2 \pi n; \frac{\pi}{2} + 2 \pi n.$

Задача 2:

$4 \sin x + 3 \cos x = 6$;

$$4 \cdot 2 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} + 3 \left( \cos^2 \frac{x}{2} — \sin^2 \frac{x}{2} \right) = 6 \left( \cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2} \right);$$ $$8 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} + 3 \cos^2 \frac{x}{2} — 3 \sin^2 \frac{x}{2} — 6 \cos^2 \frac{x}{2} — 6 \sin^2 \frac{x}{2} = 0;$$ $$8 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} — 9 \sin^2 \frac{x}{2} — 3 \cos^2 \frac{x}{2} = 0 \quad | : \cos^2 \frac{x}{2};$$ $$8 \operatorname{tg} \frac{x}{2} — 9 \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} — 3 = 0;$$

Пусть $y = \operatorname{tg} \frac{x}{2}$, тогда:

$$8y — 9y^2 — 3 = 0;$$ $$9y^2 — 8y + 3 = 0;$$ $$D = 8^2 — 4 \cdot 9 \cdot 3 = 64 — 108 = -44;$$ $$D < 0, \text{значит корней нет;}$$

Ответ: корней нет.

Задача 1:

$5 \sin x + \cos x = 5$

Шаг 1. Преобразуем левую часть с помощью формул двойного угла:

$$\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}, \quad \cos x = \cos^2 \frac{x}{2} — \sin^2 \frac{x}{2}$$

Подставляем:

$$5 \cdot 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + \left( \cos^2 \frac{x}{2} — \sin^2 \frac{x}{2} \right) = 5$$

То есть:

$$10 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} — \sin^2 \frac{x}{2} = 5$$

Шаг 2. Переносим правую часть в левую, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$$10 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} — \sin^2 \frac{x}{2} — 5 = 0$$

Шаг 3. Используем тождество:

$$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$$

Перепишем $5$ как $5 \times 1 = 5(\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2})$, чтобы удобно сгруппировать члены:

$$10 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} — \sin^2 \frac{x}{2} — 5 \cos^2 \frac{x}{2} — 5 \sin^2 \frac{x}{2} = 0$$

Шаг 4. Сгруппируем похожие члены:

$$10 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + (\cos^2 \frac{x}{2} — 5 \cos^2 \frac{x}{2}) + (-\sin^2 \frac{x}{2} — 5 \sin^2 \frac{x}{2}) = 0$$ $$10 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} — 4 \cos^2 \frac{x}{2} — 6 \sin^2 \frac{x}{2} = 0$$

Шаг 5. Для удобства поделим всё уравнение на $\cos^2 \frac{x}{2}$ (предполагая, что $\cos \frac{x}{2} \neq 0$):

$$10 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \div \cos^2 \frac{x}{2} — 4 \cos^2 \frac{x}{2} \div \cos^2 \frac{x}{2} — 6 \sin^2 \frac{x}{2} \div \cos^2 \frac{x}{2} = 0$$

Это даёт:

$$10 \tan \frac{x}{2} — 4 — 6 \tan^2 \frac{x}{2} = 0$$

Перепишем для удобства:

$$10 \tan \frac{x}{2} — 6 \tan^2 \frac{x}{2} — 4 = 0$$

Шаг 6. Введём замену переменной:

$$y = \tan \frac{x}{2}$$

Тогда уравнение становится квадратным:

$$10 y — 6 y^2 — 4 = 0$$

Переставим с обычным порядком:

$$-6 y^2 + 10 y — 4 = 0$$

Или умножим на $-1$, чтобы ведущий коэффициент был положительным:

$$6 y^2 — 10 y + 4 = 0$$

Шаг 7. Упростим коэффициенты, разделив на 2:

$$3 y^2 — 5 y + 2 = 0$$

Шаг 8. Найдём дискриминант:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 — 24 = 1$$

Шаг 9. Найдём корни уравнения по формуле:

$$y = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 1}{6}$$

Тогда:

$$y_1 = \frac{5 — 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$ $$y_2 = \frac{5 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$$

Шаг 10. Решаем уравнения с тангенсом:

$\tan \frac{x}{2} = \frac{2}{3}$

Общее решение:

$$\frac{x}{2} = \arctan \frac{2}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Умножим обе части на 2:

$$x = 2 \arctan \frac{2}{3} + 2 \pi n$$

$\tan \frac{x}{2} = 1$

Известно, что:

$$\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$$

Тогда:

$$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Умножим обе части на 2:

$$x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n$$

Итоговый ответ задачи 1:

$$x = 2 \arctan \frac{2}{3} + 2 \pi n, \quad x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Задача 2:

$4 \sin x + 3 \cos x = 6$

Шаг 1. Аналогично преобразуем левую часть через формулы двойного угла:

$$\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}, \quad \cos x = \cos^2 \frac{x}{2} — \sin^2 \frac{x}{2}$$

Подставим:

$$4 \cdot 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + 3 (\cos^2 \frac{x}{2} — \sin^2 \frac{x}{2}) = 6$$

То есть:

$$8 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + 3 \cos^2 \frac{x}{2} — 3 \sin^2 \frac{x}{2} = 6$$

Шаг 2. Переносим всё в одну сторону:

$$8 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + 3 \cos^2 \frac{x}{2} — 3 \sin^2 \frac{x}{2} — 6 = 0$$

Шаг 3. Запишем $6$ через тождество:

$$6 = 6 (\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2})$$

Подставим:

$$8 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + 3 \cos^2 \frac{x}{2} — 3 \sin^2 \frac{x}{2} — 6 \cos^2 \frac{x}{2} — 6 \sin^2 \frac{x}{2} = 0$$

Шаг 4. Сгруппируем похожие члены:

$$8 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + (3 \cos^2 \frac{x}{2} — 6 \cos^2 \frac{x}{2}) + (-3 \sin^2 \frac{x}{2} — 6 \sin^2 \frac{x}{2}) = 0$$ $$8 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} — 3 \cos^2 \frac{x}{2} — 9 \sin^2 \frac{x}{2} = 0$$

Шаг 5. Поделим всё уравнение на $\cos^2 \frac{x}{2}$, при условии $\cos \frac{x}{2} \neq 0$:

$$8 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \div \cos^2 \frac{x}{2} — 3 \cos^2 \frac{x}{2} \div \cos^2 \frac{x}{2} — 9 \sin^2 \frac{x}{2} \div \cos^2 \frac{x}{2} = 0$$

То есть:

$$8 \tan \frac{x}{2} — 3 — 9 \tan^2 \frac{x}{2} = 0$$

Перепишем:

$$8 \tan \frac{x}{2} — 9 \tan^2 \frac{x}{2} — 3 = 0$$

Шаг 6. Введём замену:

$$y = \tan \frac{x}{2}$$

Уравнение становится:

$$8 y — 9 y^2 — 3 = 0$$

Или:

$$-9 y^2 + 8 y — 3 = 0$$

Перемножим на $-1$ для удобства:

$$9 y^2 — 8 y + 3 = 0$$

Шаг 7. Находим дискриминант:

$$D = (-8)^2 — 4 \cdot 9 \cdot 3 = 64 — 108 = -44$$

Шаг 8. Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней.

Ответ задачи 2:

Корней нет.

Итог:

$$\boxed{{\displaystyle \{\begin{array}{l}x=2\arctan \frac{2}{3}+2\pi n,\\ x=\frac{\pi }{2}+2\pi n,\\ n\in \mathbb{Z};\end{array}\text{и}\text{корней для второго уравнения нет}}}$$