ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 632 Алимов — Подробные Ответы

1. 1-cos(пи-x) + sin(пи/2 +x/2)=0;
2. корень 2 cos(x-пи/4) = (sinx+cosx)2.

$1 — \cos(\pi — x) + \sin\left(\frac{\pi}{2} + \frac{x}{2}\right) = 0;$

$1 + \cos x + \cos \frac{x}{2} = 0;$

$2 \cos^2 \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} = 0;$

$\cos \frac{x}{2} \cdot \left( 2 \cos \frac{x}{2} + 1 \right) = 0;$

Первое уравнение:

$\cos \frac{x}{2} = 0;$

$\frac{x}{2} = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$

$x = 2 \cdot \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \pi + 2\pi n;$

Второе уравнение:

$2 \cos \frac{x}{2} + 1 = 0;$

$2 \cos \frac{x}{2} = -1;$

$\cos \frac{x}{2} = -\frac{1}{2};$

$\frac{x}{2} = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$

$x = 2 \cdot \left( \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right) = \pm \frac{4\pi}{3} + 4\pi n;$

Ответ: $\pi +2\pi n;\pm \frac{4\pi }{3}+4\pi n\mathrm{.}$

2. $\pi + 2\pi n; \, \pm \frac{4\pi}{3} + 4\pi n.$$\sqrt{2} \cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = (\sin x + \cos x)^2;$

$\sqrt{2} \left( \cos x \cdot \cos \frac{\pi}{4} + \sin x \cdot \sin \frac{\pi}{4} \right) = (\sin x + \cos x)^2;$

$\sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \cos x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sin x \right) = (\sin x + \cos x)^2;$

$\cos x + \sin x = (\sin x + \cos x)^2;$

Первое уравнение:

$\sin x + \cos x = 0 \quad | : \cos x;$

$\operatorname{tg} x + 1 = 0;$

$\operatorname{tg} x = -1;$

$x = -\operatorname{arctg} 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n;$

Второе уравнение:

$\sin x + \cos x = 1 \quad | : \sqrt{2};$

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2};$

$\sin \frac{\pi}{4} \cdot \sin x + \cos \frac{\pi}{4} \cdot \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2};$

$\cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2};$

$x — \frac{\pi}{4} = \pm \operatorname{arccos} \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$

$x_1 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = 2\pi n;$

$x_2 = +\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$

Ответ: $-\frac{\pi }{4}+\pi n;2\pi n;\frac{\pi }{2}+2\pi n\mathrm{.}$

1. Уравнение:

$$1 — \cos(\pi — x) + \sin\left(\frac{\pi}{2} + \frac{x}{2}\right) = 0$$

Шаг 1: Преобразуем выражения с косинусом и синусом.

Первым шагом давайте упростим выражения $\cos(\pi — x)$ и $\sin\left(\frac{\pi}{2} + \frac{x}{2}\right)$ с помощью стандартных тригонометрических формул.

1. $\cos(\pi — x) = -\cos(x)$, так как $\cos(\pi — \theta) = -\cos(\theta)$.
2. $\sin\left(\frac{\pi}{2} + \frac{x}{2}\right) = \cos\left(\frac{x}{2}\right)$, так как по формуле сложения синуса: $\sin\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = \cos(\theta)$.

Подставим эти преобразования в исходное уравнение:

$$1 — (-\cos x) + \cos\left(\frac{x}{2}\right) = 0$$ $$1 + \cos x + \cos\left(\frac{x}{2}\right) = 0$$

Шаг 2: Преобразуем уравнение.

Теперь у нас есть уравнение:

$$1 + \cos x + \cos\left(\frac{x}{2}\right) = 0$$

Переносим все в одну сторону:

$$\cos x + \cos\left(\frac{x}{2}\right) = -1$$

Шаг 3: Применим тригонометрические формулы для решения.

$\cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2} — 1$ — это формула для двойного угла.

Подставим это в уравнение:

$$2 \cos^2 \frac{x}{2} — 1 + \cos \frac{x}{2} = -1$$

Сокращаем -1 с обеих сторон:

$$2 \cos^2 \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} = 0$$

Шаг 4: Решим полученное квадратное уравнение.

Теперь у нас квадратное уравнение относительно $\cos \frac{x}{2}$:

$$\cos \frac{x}{2} \cdot \left( 2 \cos \frac{x}{2} + 1 \right) = 0$$

Решаем его по правилу нуля произведения. Мы получаем два возможных уравнения:

1. $\cos \frac{x}{2} = 0$
2. $2 \cos \frac{x}{2} + 1 = 0$

Шаг 5: Решаем каждое из уравнений.

1-е уравнение: $\cos \frac{x}{2} = 0$

Для $\cos \frac{x}{2} = 0$ мы знаем, что:

$$\frac{x}{2} = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Отсюда:

$$x = 2 \cdot \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \pi + 2\pi n$$

2-е уравнение: $2 \cos \frac{x}{2} + 1 = 0$

Для $2 \cos \frac{x}{2} = -1$ получаем:

$$\cos \frac{x}{2} = -\frac{1}{2}$$

Решаем $\cos \frac{x}{2} = -\frac{1}{2}$:

$$\frac{x}{2} = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Умножаем на 2:

$$x = 2 \cdot \left( \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right) = \pm \frac{4\pi}{3} + 4\pi n$$

Ответ:

$$x = \pi + 2\pi n; \, \pm \frac{4\pi}{3} + 4\pi n$$

2. Уравнение:

$$\sqrt{2} \cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = (\sin x + \cos x)^2$$

Шаг 1: Применим формулу косинуса разности.

Используем формулу для косинуса разности:

$$\cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = \cos x \cdot \cos \frac{\pi}{4} + \sin x \cdot \sin \frac{\pi}{4}$$

Подставляем это в уравнение:

$$\sqrt{2} \left( \cos x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \sin x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = (\sin x + \cos x)^2$$

Сокращаем $\sqrt{2}$ в левой части:

$$\cos x + \sin x = (\sin x + \cos x)^2$$

Шаг 2: Введем замену.

Пусть:

$$y = \sin x + \cos x$$

Тогда уравнение принимает вид:

$$y = y^2$$

Переносим все в одну сторону:

$$y^2 — y = 0$$

Факторизуем:

$$y(y — 1) = 0$$

Шаг 3: Решаем уравнение.

У нас есть два возможных значения для $y$:

1. $y = 0$
2. $y = 1$

1-е уравнение: $\sin x + \cos x = 0$

Это уравнение эквивалентно:

$$\frac{\sin x}{\cos x} = -1$$

То есть:

$$\tan x = -1$$

Решение этого уравнения:

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

2-е уравнение: $\sin x + \cos x = 1$

Это уравнение можно записать как:

$$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Преобразуем его в следующую форму:

$$\cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin x + \cos \frac{\pi}{4} \cdot \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Используя формулу для косинуса суммы углов:

$$\cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Решение этого уравнения:

$$x — \frac{\pi}{4} = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

Отсюда:

$$x_1 = 2\pi n; \quad x_2 = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Ответ:

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n; \, 2\pi n; \, \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$