ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1403 Алимов — Подробные Ответы

1. 5(x2+3z+1,5) < 5 корень 5:
2. 0,2(x2-6x+7) > =1.

1. $5^{x^2 + 3x + 1.5} < 5\sqrt{5};$
   $5^{x^2 + 3x + 1.5} < 5^{1 + \frac{1}{2}};$
   $x^2 + 3x + 1.5 < 1.5;$
   $x^2 + 3x < 0;$
   $(x + 3) \cdot x < 0;$
   $-3 < x < 0;$
   Ответ: $-3 < x < 0.$
2. $0.2^{x^2 — 6x + 7} \geq 1;$
   $0.2^{x^2 — 6x + 7} \geq 0.2^0;$
   $x^2 — 6x + 7 \leq 0;$

$D = 6^2 — 4 \cdot 7 = 36 — 28 = 8 = 4 \cdot 2,$ тогда:
$x = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 3 \pm \sqrt{2};$

$(x — (3 — \sqrt{2})) \cdot (x + (3 — \sqrt{2})) \geq 0;$
$3 — \sqrt{2} < x < 3 + \sqrt{2};$
Ответ: $3 — \sqrt{2} < x < 3 + \sqrt{2}.$

1) $5^{\,x^{2}+3x+1.5}\;<\;5\sqrt5$

Шаг 1. Приводим правую часть к степени числа 5

$$5\sqrt5 \;=\;5^{\,1}\!\cdot\!5^{\,1/2}\;=\;5^{\,1+\frac12}\;=\;5^{\,1.5}.$$

Теперь неравенство выглядит так:

$$5^{\,x^{2}+3x+1.5}\;<\;5^{\,1.5}.$$

Шаг 2. Сравниваем показатели степеней

Основа $5>1$ ⇒ функция $t\mapsto5^{\,t}$ возрастает.
Для возрастающей степени справедливо:

$$a^{f}\;<\;a^{g}\quad(a>1) \;\;\Longleftrightarrow\;\; f<g.$$

Применяем к нашим показателям:

$$x^{2}+3x+1.5\;<\;1.5.$$

Шаг 3. Убираем постоянную 1 .5

$$x^{2}+3x+1.5-1.5\;<\;0 \;\;\Longrightarrow\;\; x^{2}+3x\;<\;0.$$

Шаг 4. Выносим общий множитель и строим знак

$$x^{2}+3x \;=\;x(x+3).$$

Получаем

$$x(x+3)\;<\;0.$$

Это произведение двух линейных множителей; у него классический «плюс–минус–плюс» рисунок:

Нужен «минус» → берём внутренний промежуток:

$$-3\;<\;x\;<\;0.$$

Ответ 1: $\boxed{-3<x<0}$.

2) $0.2^{\,x^{2}-6x+7}\;\ge\;1$

Шаг 1. Записываем единицу как степень того же основания

$$1 \;=\;0.2^{\,0}.$$

Неравенство:

$$0.2^{\,x^{2}-6x+7}\;\ge\;0.2^{\,0}.$$

Шаг 2. Анализ монотонности для основания $0<0.2<1$

При $0<a<1$ функция $t\mapsto a^{\,t}$ убывает.
Для убывающей степени:

$$a^{f}\;\ge\;a^{g}\quad(0<a<1) \;\;\Longleftrightarrow\;\; f\;\le\;g.$$

Поэтому

$$x^{2}-6x+7\;\le\;0.$$

Шаг 3. Решаем квадратное неравенство

1. Коэффициенты: $a=1,\;b=-6,\;c=7$.
2. Дискриминант:

   $$D=b^{2}-4ac =(-6)^{2}-4\cdot1\cdot7 =36-28 =8.$$

3. Корни:

   $$x_{1,2} =\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} =\frac{6\pm\sqrt8}{2} =\frac{6\pm2\sqrt2}{2} =3\pm\sqrt2.$$

4. Факторизация:

   $$x^{2}-6x+7 =(x-(3-\sqrt2))(x-(3+\sqrt2)).$$

   Парабола открыта вверх (старший коэффициент $+1$),
   поэтому выражение ≤0 между корнями (включая сами корни):

   $$3-\sqrt2\;\le\;x\;\le\;3+\sqrt2.$$

Шаг 4. Проверяем границы

• При $x=3-\sqrt2$ получаем показатель $0$ ⇒ $0.2^{0}=1$ ✓
• При $x=3+\sqrt2$ то же ✓

Границы входят.

Ответ 2: $\boxed{\,3-\sqrt2\;\le x\le\;3+\sqrt2\,}$.