ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1355 Алимов — Подробные Ответы

1. xlgx=10;
2. xlog3(x) =9x;
3. xlgx — 1=10(1-x^-lgx);
4. x корень x= корень xx.

1) $x^{\lg x} = 10$;

$$\log_x x^{\lg x} = \log_x 10;$$ $$\lg x = \frac{\lg 10}{\lg x};$$ $$\lg x = \frac{1}{\lg x} \quad | \cdot \lg x;$$ $$\lg^2 x = 1;$$ $$\lg x = \pm 1;$$

Первое значение:

$$\lg x = -1;$$ $$\lg x = \lg 10^{-1}, \text{ отсюда } x = 0.1;$$

Второе значение:

$$\lg x = 1;$$ $$\lg x = \lg 10, \text{ отсюда } x = 10;$$

Ответ: $x_1 = 0.1; \, x_2 = 10.$

2) $x^{\log_3 x} = 9x$;

$$\log_x x^{\log_3 x} = \log_x 9x;$$ $$\log_3 x = \log_x 9 + \log_x x;$$ $$\log_3 x = \frac{\log_3 9}{\log_3 x} + 1;$$ $$\log_3 x = \frac{2}{\log_3 x} + 1 \quad | \cdot \log_3 x;$$ $$(\log_3 x)^2 = 2 + \log_3 x;$$

Пусть $y = \log_3 x$, тогда:

$$y^2 — y — 2 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9;$$ $$y_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;$$

Первое значение:

$$\log_3 x = -1;$$ $$\log_3 x = \log_3 3^{-1}, \text{ отсюда } x = \frac{1}{3};$$

Второе значение:

$$\log_3 x = 2;$$ $$\log_3 x = \log_3 3^2, \text{ отсюда } x = 9;$$

Ответ: $x_1 = \frac{1}{3}; \, x_2 = 9.$

3) $x^{\lg x} — 1 = 10(1 — x^{-\lg x})$;

$$x^{\lg x} — 1 = 10 — 10x^{-\lg x};$$ $$x^{\lg x} + 10x^{-\lg x} — 11 = 0;$$

Пусть $y = x^{\lg x}$, тогда:

$$y + 10y^{-1} — 11 = 0 \quad | \cdot y;$$ $$y^2 — 11y + 10 = 0;$$ $$D = 11^2 — 4 \cdot 10 = 121 — 40 = 81;$$ $$y_1 = \frac{11 — 9}{2} = 1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{11 + 9}{2} = 10;$$

Первое значение:

$$x^{\lg x} = 1;$$ $$\log_x x^{\lg x} = \log_x 1;$$ $$\lg x = 0, \text{ отсюда } x = 1;$$

Второе значение:

$$x^{\lg x} = 10;$$ $$\log_x x^{\lg x} = \log_x 10;$$ $$\lg x = \frac{\lg 10}{\lg x};$$ $$\lg x = \frac{1}{\lg x} \quad | \cdot \lg x;$$ $$\lg^2 x = 1;$$ $$\lg x = \pm 1;$$ $$\lg x = -1 \Rightarrow \lg x = \lg 10^{-1}, \text{ отсюда } x = 0.1;$$ $$\lg x = 1 \Rightarrow \lg x = \lg 10, \text{ отсюда } x = 10;$$

Ответ: $x_1 = 1; \, x_2 = 0.1; \, x_3 = 10.$

4) $x^{\sqrt{x}} = \sqrt{x^x}$;

Первое значение:

$$x = 1;$$

Второе значение:

$$x^{\sqrt{x}} = x^{\frac{x}{2}};$$ $$\sqrt{x} = \frac{x}{2};$$ $$2\sqrt{x} = x;$$ $$4x = x^2;$$ $$x^2 — 4x = 0;$$ $$x \cdot (x — 4) = 0;$$ $$x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = 4;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x \neq 0 \quad \text{и} \quad x \geq 0;$$

Ответ: $x_1 = 1; \, x_2 = 4.$

Пример 1:

$$x^{\lg x} = 10$$

Шаг 1: Преобразование логарифма

В данном уравнении нам нужно работать с выражением $x^{\lg x}$. Мы можем преобразовать это уравнение, используя логарифм. Применяем логарифм по основанию $x$ к обеим частям уравнения:

$$\log_x x^{\lg x} = \log_x 10.$$

Используя одно из свойств логарифмов $\log_a (b^n) = n \log_a b$, получаем:

$$\lg x = \frac{\lg 10}{\lg x}.$$

Так как $\lg 10 = 1$, то у нас остаётся:

$$\lg x = \frac{1}{\lg x}.$$

Шаг 2: Решение уравнения

Умножаем обе части уравнения на $\lg x$, чтобы избавиться от дроби:

$$\lg^2 x = 1.$$

Теперь у нас квадратное уравнение:

$$\lg x = \pm 1.$$

Шаг 3: Решение для двух случаев

1. Первый случай: $\lg x = -1$.

   Это означает, что:

   $$\lg x = \lg 10^{-1}, \text{ отсюда } x = 0.1.$$

2. Второй случай: $\lg x = 1$.

   Это означает, что:

   $$\lg x = \lg 10, \text{ отсюда } x = 10.$$

Ответ:

Таким образом, решения для $x$:

$$x_1 = 0.1; \quad x_2 = 10.$$

Пример 2:

$$x^{\log_3 x} = 9x$$

Шаг 1: Преобразование уравнения

Применим логарифм по основанию $x$ к обеим частям уравнения:

$$\log_x x^{\log_3 x} = \log_x 9x.$$

Используя свойство логарифмов $\log_a (b^n) = n \log_a b$, получаем:

$$\log_3 x = \log_x 9 + \log_x x.$$

Так как $\log_x x = 1$, то у нас получается:

$$\log_3 x = \log_x 9 + 1.$$

Шаг 2: Преобразование логарифма

Используем свойство $\log_x a = \frac{\log_3 a}{\log_3 x}$. Таким образом:

$$\log_3 x = \frac{\log_3 9}{\log_3 x} + 1.$$

Поскольку $\log_3 9 = 2$, уравнение становится:

$$\log_3 x = \frac{2}{\log_3 x} + 1.$$

Шаг 3: Умножение обеих частей на $\log_3 x$

Умножим обе части на $\log_3 x$ и преобразуем уравнение:

$$(\log_3 x)^2 = 2 + \log_3 x.$$

Переносим все в одну сторону:

$$(\log_3 x)^2 — \log_3 x — 2 = 0.$$

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого вычислим дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9.$$

Найдем корни уравнения с помощью формулы:

$$y_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 3}{2} = -1,$$ $$y_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2.$$

Шаг 5: Решение для $x$

1. Первое значение: $\log_3 x = -1$.

   Это означает, что:

   $$\log_3 x = \log_3 3^{-1}, \text{ отсюда } x = \frac{1}{3}.$$

2. Второе значение: $\log_3 x = 2$.

   Это означает, что:

   $$\log_3 x = \log_3 3^2, \text{ отсюда } x = 9.$$

Ответ:

Таким образом, решения для $x$:

$$x_1 = \frac{1}{3}; \quad x_2 = 9.$$

Пример 3:

$$x^{\lg x} — 1 = 10(1 — x^{-\lg x})$$

Шаг 1: Преобразование уравнения

Приведем уравнение к более простому виду:

$$x^{\lg x} — 1 = 10 — 10x^{-\lg x}.$$

Переносим все элементы в одну сторону:

$$x^{\lg x} + 10x^{-\lg x} — 11 = 0.$$

Шаг 2: Введение нового переменного

Введем новый переменный $y = x^{\lg x}$. Таким образом, уравнение принимает вид:

$$y + 10y^{-1} — 11 = 0.$$

Умножим обе части на $y$ для избавления от дроби:

$$y^2 — 11y + 10 = 0.$$

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Теперь решим квадратное уравнение. Рассчитаем дискриминант:

$$D = (-11)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 10 = 121 — 40 = 81.$$

Найдем корни уравнения:

$$y_1 = \frac{11 — 9}{2} = 1, \quad y_2 = \frac{11 + 9}{2} = 10.$$

Шаг 4: Решение для $x$

1. Первое значение: $x^{\lg x} = 1$.

   Это означает:

   $$\log_x x^{\lg x} = \log_x 1,$$

   откуда $\lg x = 0$, и отсюда $x = 1$.

2. Второе значение: $x^{\lg x} = 10$.

   Это означает:

   $$\log_x x^{\lg x} = \log_x 10,$$

   что даёт:

   $$\lg x = \frac{1}{\lg x}.$$

   Умножаем обе части на $\lg x$:

   $$\lg^2 x = 1.$$

   Отсюда:

   $$\lg x = \pm 1.$$

   Для $\lg x = -1$, $x = 0.1$, а для $\lg x = 1$, $x = 10$.

Ответ:

Таким образом, решения для $x$:

$$x_1 = 1; \quad x_2 = 0.1; \quad x_3 = 10.$$

Пример 4:

$$x^{\sqrt{x}} = \sqrt{x^x}$$

Шаг 1: Проверка очевидных решений

Для $x = 1$ мы видим, что:

$$1^{\sqrt{1}} = \sqrt{1^1},$$

что верно, так как обе стороны равны 1.

Шаг 2: Решение для $x \neq 1$

Для $x \neq 1$, уравнение можно преобразовать следующим образом:

$$x^{\sqrt{x}} = x^{\frac{x}{2}}.$$

Теперь приравниваем показатели степеней:

$$\sqrt{x} = \frac{x}{2}.$$

Умножаем обе стороны на 2:

$$2\sqrt{x} = x.$$

Возводим обе стороны в квадрат:

$$4x = x^2.$$

Переносим все в одну сторону:

$$x^2 — 4x = 0,$$

что даёт:

$$x(x — 4) = 0.$$

Таким образом, $x = 0$ или $x = 4$.

Шаг 3: Проверка значений

$x = 0$ не подходит, так как выражение имеет смысл только для $x > 0$.

Ответ:

Таким образом, решения для $x$:

$$x_1 = 1; \quad x_2 = 4.$$

Ответ:

1. $x_1 = 0.1; \, x_2 = 10$
2. $x_1 = \frac{1}{3}; \, x_2 = 9$
3. $x_1 = 1; \, x_2 = 0.1; \, x_3 = 10$
4. $x_1 = 1; \, x_2 = 4$