ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 489 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить sin (a — b), если cos a =-0,8, пи/2 < a < пи, и sinb=-12/13, пи < b < 3пи/2.

Вычислить $\sin(\alpha — \beta)$, если:

$$\cos \alpha = -0.8 \quad \text{и} \quad \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi;$$ $$\sin \beta = -\frac{12}{13} \quad \text{и} \quad \pi < \beta < \frac{3\pi}{2};$$

Точка, соответствующая повороту на угол $\alpha$, лежит во II четверти:

$$\sin \alpha = \sqrt{1 — \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 — (-0.8)^2} = \sqrt{1 — 0.64} = \sqrt{0.36} = 0.6;$$

Точка, соответствующая повороту на угол $\beta$, лежит в III четверти:

$$\cos \beta = -\sqrt{1 — \sin^2 \beta} = -\sqrt{1 — \left(-\frac{12}{13}\right)^2} = -\sqrt{\frac{169}{169} — \frac{144}{169}} = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13};$$

Значение выражения:

$$\sin(\alpha — \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta — \cos \alpha \cdot \sin \beta;$$ $$\sin(\alpha — \beta) = 0.6 \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) + 0.8 \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) = -\frac{3}{13} — \frac{9.6}{13} = -\frac{12.6}{13} = -\frac{63}{65};$$

Ответ: $-\frac{63}{65}$.

Дано:

$$\cos \alpha = -0.8, \quad \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi;$$ $$\sin \beta = -\frac{12}{13}, \quad \pi < \beta < \frac{3\pi}{2}.$$

Нужно вычислить:

$$\sin(\alpha — \beta).$$

Шаг 1: Определяем четверти и знаки

• Угол $\alpha$ во второй четверти ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$), где:

  $$\sin \alpha > 0, \quad \cos \alpha < 0.$$

• Угол $\beta$ в третьей четверти ($\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$), где:

  $$\sin \beta < 0, \quad \cos \beta < 0.$$

Шаг 2: Находим $\sin \alpha$

Используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.$$

Известно $\cos \alpha = -0.8$, тогда

$$\sin^2 \alpha = 1 — (-0.8)^2 = 1 — 0.64 = 0.36,$$ $$\sin \alpha = +\sqrt{0.36} = 0.6,$$

так как $\alpha$ во второй четверти, где синус положителен.

Шаг 3: Находим $\cos \beta$

По основному тождеству:

$$\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1.$$

Дано $\sin \beta = -\frac{12}{13}$, значит

$$\cos^2 \beta = 1 — \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = 1 — \frac{144}{169} = \frac{25}{169}.$$

В третьей четверти $\cos \beta < 0$, значит

$$\cos \beta = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13}.$$

Шаг 4: Используем формулу для синуса разности углов

$$\sin(\alpha — \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta — \cos \alpha \cdot \sin \beta.$$

Шаг 5: Подставляем найденные значения

$$\sin(\alpha — \beta) = 0.6 \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) — (-0.8) \cdot \left(-\frac{12}{13}\right).$$

Шаг 6: Вычисляем произведения

$$0.6 \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) = -\frac{3}{13},$$ $$-0.8 \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) = -\frac{9.6}{13}.$$

Шаг 7: Складываем результаты

$$\sin(\alpha — \beta) = -\frac{3}{13} — \frac{9.6}{13} = -\frac{12.6}{13}.$$

Шаг 8: Приводим к дробям с целыми числителями и знаменателями

$$-\frac{12.6}{13} = -\frac{126}{130} = -\frac{63}{65}.$$

Ответ:

$$\boxed{-\frac{63}{65}}.$$