ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 397 Алимов — Подробные Ответы

1. 4log(x) -33logx(4) < =1;
2. logx(3) < = 4(+log1/3(x)).

1)$$4 \log_4 x — 33 \log_x 4 \leq 1;$$ $$4 \log_4 x — 33 \cdot \frac{\log_4 4}{\log_4 x} — 1 \leq 0;$$ $$4 \log_4 x — \frac{33}{\log_4 x} — 1 \leq 0;$$

Пусть $y = \log_4 x$, тогда:

$$4y — \frac{33}{y} — 1 \leq 0;$$ $$\frac{4y^2 — y — 33}{y} \leq 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 4 \cdot 33 = 1 + 528 = 529, \text{ тогда: }$$ $$y_1 = \frac{1 — 23}{2 \cdot 4} = \frac{-22}{8} = -\frac{11}{4};$$ $$y_2 = \frac{1 + 23}{2 \cdot 4} = \frac{24}{8} = 3;$$ $$\frac{(y + \frac{11}{4})(y — 3)}{y} \leq 0;$$ $$(y + \frac{11}{4}) \cdot y \cdot (y — 3) \leq 0;$$ $$y \leq -\frac{11}{4} \quad \text{и} \quad 0 < y \leq 3;$$

Первое значение:

$$\log_4 x \leq -\frac{11}{4};$$ $$\log_4 x \leq \log_4 4^{-\frac{11}{4}};$$ $$x \leq 4^{-\frac{11}{4}}, \text{ отсюда } x \leq \sqrt[4]{4^{-11}};$$

Второе значение:

$$\log_4 x > 0;$$ $$\log_4 x > \log_4 1, \text{ отсюда } x > 1;$$

Третье значение:

$$\log_4 x \leq 3;$$ $$\log_4 x \leq \log_4 4^3;$$ $$x \leq 4^3, \text{ отсюда } x \leq 64;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x > 0 \text{ и } x \neq 1;$$

Ответ: $0 < x \leq \sqrt[4]{4^{-11}}; \, 1 < x \leq 64$.

2)$$\log_x 3 \leq 4 \left(1 + \log_{\frac{1}{3}} x\right);$$ $$\frac{\log_3 3}{\log_3 x} \leq 4 \left(1 + \log_{3^{-1}} x\right);$$ $$\frac{1}{\log_3 x} \leq 4 \left(1 — \log_3 x\right);$$

Пусть $y = \log_3 x$, тогда:

$$\frac{1}{y} \leq 4 (1 — y);$$ $$\frac{1 — 4y + 4y^2}{y} \leq 0;$$ $$\frac{(1 — 2y)^2}{y} \leq 0;$$ $$y < 0 \quad \text{и} \quad y = \frac{1}{2};$$

Первое значение:

$$\log_3 x < 0;$$ $$\log_3 x < \log_3 1, \text{ отсюда } x < 1;$$

Второе значение:

$$\log_3 x = \frac{1}{2};$$ $$\log_3 x = \log_3 3^{\frac{1}{2}};$$ $$x = 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3};$$

Выражение имеет смысл при:

$$x > 0 \text{ и } x \neq 1;$$

Ответ: $0 < x < 1; \, x = \sqrt{3}$.

Задача 1

$$4 \log_4 x — 33 \log_x 4 \leq 1$$

Шаг 1: Преобразуем $\log_x 4$ через основание 4

По формуле смены основания:

$$\log_x 4 = \frac{1}{\log_4 x}$$

Тогда уравнение превращается в:

$$4 \log_4 x — \frac{33}{\log_4 x} \leq 1$$

Шаг 2: Обозначим $y = \log_4 x$

$$4y — \frac{33}{y} \leq 1 \Rightarrow 4y — \frac{33}{y} — 1 \leq 0$$

Шаг 3: Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{4y^2 — y — 33}{y} \leq 0$$

Шаг 4: Решаем рациональное неравенство

Числитель: $4y^2 — y — 33$

$$D = (-1)^2 + 4 \cdot 4 \cdot 33 = 1 + 528 = 529,\quad \sqrt{D} = 23$$ $$y_1 = \frac{1 — 23}{8} = -\frac{11}{4},\quad y_2 = \frac{1 + 23}{8} = 3$$

Шаг 5: Анализ знаков

Знаменатель: $y$, ноль в точке $y = 0$
Нули числителя: $y = -\frac{11}{4}$, $y = 3$

Разбиваем числовую ось на промежутки:

• $(-\infty, -\frac{11}{4})$
• $(-\frac{11}{4}, 0)$
• $(0, 3)$
• $(3, \infty)$

Знаки выражения $\frac{(y + \frac{11}{4})(y — 3)}{y}$:

Решение неравенства: $\leq 0$ — включает нули числителя, исключает ноль знаменателя:

$$y \leq -\frac{11}{4} \quad \text{или} \quad 0 < y \leq 3$$

Шаг 6: Вернемся к $y = \log_4 x$

1) $\log_4 x \leq -\frac{11}{4} \Rightarrow x \leq 4^{-11/4}$

2) $0 < \log_4 x \leq 3 \Rightarrow 1 < x \leq 4^3 = 64$

Шаг 7: Учитываем ОДЗ

• $\log_4 x$ определён при $x > 0$
• $\log_x 4$ определён при $x > 0, x \ne 1$

Итоговая ОДЗ: $x > 0, x \ne 1$

Ответ:

$$\boxed{0 < x \leq 4^{-11/4};\quad 1 < x \leq 64}$$

Задача 2

$$\log_x 3 \leq 4 \left(1 + \log_{\frac{1}{3}} x \right)$$

Шаг 1: Преобразуем обе части с использованием $\log_3$

$$\log_x 3 = \frac{\log_3 3}{\log_3 x} = \frac{1}{\log_3 x}$$ $$\log_{\frac{1}{3}} x = \frac{1}{\log_x \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{1}{\log_3 x}} = -\log_3 x$$

Или напрямую:

$$\log_{\frac{1}{3}} x = \frac{\log_3 x}{\log_3 \frac{1}{3}} = \frac{\log_3 x}{-1} = -\log_3 x$$

Шаг 2: Подставим:

$$\frac{1}{\log_3 x} \leq 4(1 — \log_3 x)$$

Шаг 3: Обозначим $y = \log_3 x$:

$$\frac{1}{y} \leq 4(1 — y) \Rightarrow \frac{1 — 4y + 4y^2}{y} \leq 0$$

Шаг 4: Упростим числитель

$$1 — 4y + 4y^2 = (1 — 2y)^2 \Rightarrow \frac{(1 — 2y)^2}{y} \leq 0$$

Шаг 5: Анализ рационального неравенства

$$\frac{(1 — 2y)^2}{y} \leq 0$$

• $(1 — 2y)^2 \geq 0$ всегда
• дробь ≤ 0 только если числитель = 0 и знаменатель < 0

Числитель ноль при: $y = \frac{1}{2}$
Знаменатель отрицательный при: $y < 0$

$$\Rightarrow y = \frac{1}{2} \quad \text{или} \quad y < 0$$

Шаг 6: Вернемся к $y = \log_3 x$

1) $\log_3 x < 0 \Rightarrow x < 1$

2) $\log_3 x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 3^{1/2} = \sqrt{3}$

Шаг 7: Проверим ОДЗ

• $x > 0$
• $x \ne 1$ (из-за $\log_x 3$)

Ответ:

$$\boxed{0 < x < 1;\quad x = \sqrt{3}}$$