ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1621 Алимов — Подробные Ответы

Найти все значения а, при которых наименьшее значение функции у = х2 + (а + 4) х + 2a + 3 на отрезке [0; 2] равно -4.

Дана функция, наименьшее значение которой на отрезке $[0; 2]$ равно $-4$:

$$y = x^2 + (a + 4)x + 2a + 3;$$

Производная функции:

$$y'(x) = (x^2)’ + (a + 4)(x)’ + (2a + 3)’;$$ $$y'(x) = 2x + (a + 4) + 0 = 2x + a + 4;$$

Промежуток возрастания:

$$2x + a + 4 > 0;$$ $$2x > -a — 4;$$ $$x > -\frac{a + 4}{2};$$

Значения $a$, если вершина лежит на отрезке $[0; 2]$:

$$0 \leq -\frac{a + 4}{2} \leq 2;$$ $$-2 \leq \frac{a + 4}{2} \leq 0;$$ $$-4 \leq a + 4 \leq 0;$$ $$-8 \leq a \leq -4;$$

Если вершина лежит на отрезке $[0; 2]$:

$$-4 = \left( -\frac{a + 4}{2} \right)^2 + (a + 4)\left( -\frac{a + 4}{2} \right) + 2a + 3;$$ $$-4 = \frac{(a + 4)^2}{4} — \frac{(a + 4)^2}{2} + 2a + 3;$$ $$-4 = \frac{1}{4}(a + 4)^2 — \frac{1}{2}(a + 4)^2 + 2a + 3;$$ $$-4 = -\frac{1}{4}(a + 4)^2 + 2a + 3;$$ $$-\frac{1}{4}(a^2 + 8a + 16) + 2a + 7 = 0;$$ $$-\frac{1}{4}a^2 — 2a — 4 + 2a + 7 = 0;$$ $$-\frac{1}{4}a^2 + 3 = 0 \quad | \cdot (-4);$$ $$a^2 — 12 = 0;$$ $$a^2 = 12, \text{отсюда } a = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3};$$

Если вершина лежит правее отрезка $[0; 2]$:

$$x = 2 \text{ и } a \leq -8;$$ $$-4 = 2 \cdot 2 + 2(a + 4) + 2a + 3;$$ $$-4 = 4 + 2a + 8 + 2a + 3;$$ $$-4 = 4a + 15;$$ $$4a = -19, \text{отсюда } a = -\frac{19}{4} = -4\frac{3}{4};$$

Если вершина лежит левее отрезка $[0; 2]$:

$$x = 0 \text{ и } a \geq -4;$$ $$-4 = 0^2 + (a + 4) \cdot 0 + 2a + 3;$$ $$-4 = 2a + 3;$$ $$2a = -7, \text{отсюда } a = -3.5;$$

Ответ: $a = -3.5$.

Нам дана функция:

$$y = x^2 + (a + 4)x + 2a + 3$$

и указано, что наименьшее значение функции на отрезке $[0; 2]$ равно $-4$.

Шаг 1: Найдем производную функции

Чтобы найти стационарные точки функции, нужно вычислить ее производную. Производная функции $y = x^2 + (a + 4)x + 2a + 3$ по $x$ вычисляется по стандартным правилам дифференцирования.

1. Производная $x^2$:

   $$\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$$

2. Производная $(a + 4)x$:
   Это линейная функция относительно $x$, где $a + 4$ — это постоянная. Поэтому производная:

   $$\frac{d}{dx}((a + 4)x) = a + 4$$

3. Производная $2a + 3$:
   Это константа, поэтому ее производная равна 0:

   $$\frac{d}{dx}(2a + 3) = 0$$

Теперь, складываем все производные:

$$y'(x) = 2x + (a + 4) + 0 = 2x + a + 4$$

Таким образом, производная функции:

$$y'(x) = 2x + a + 4$$

Шаг 2: Определим промежуток возрастания функции

Производная функции показывает, на каком промежутке функция возрастает или убывает. Чтобы определить, на каком промежутке функция возрастает, нужно решить неравенство $y'(x) > 0$.

Итак, решаем:

$$2x + a + 4 > 0$$

Переносим все члены, не зависящие от $x$, на правую сторону:

$$2x > -a — 4$$

Делим обе стороны на 2:

$$x > -\frac{a + 4}{2}$$

Это неравенство показывает, что функция возрастает, когда $x > -\frac{a + 4}{2}$. То есть, функция возрастает на промежутке $x > -\frac{a + 4}{2}$.

Шаг 3: Найдем значения $a$, если вершина лежит на отрезке $[0; 2]$

Если вершина параболы лежит на отрезке $[0; 2]$, то ее абсцисса $x_{\text{верш}} = -\frac{a + 4}{2}$ должна удовлетворять неравенству:

$$0 \leq -\frac{a + 4}{2} \leq 2$$

Решим это неравенство поэтапно.

Умножим на 2:

$$0 \leq -(a + 4) \leq 4$$

Умножим все части неравенства на $-1$ и поменяем знак неравенства:

$$0 \geq a + 4 \geq -4$$

Теперь вычитаем 4 из всех частей неравенства:

$$-4 \geq a \geq -8$$

Итак, $a$ должно удовлетворять условию:

$$-8 \leq a \leq -4$$

Шаг 4: Найдем значение функции в вершине

Теперь, чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке $[0; 2]$, нужно вычислить значение функции в вершине параболы. Вершина параболы находится в точке $x = -\frac{a + 4}{2}$.

Подставим эту точку в исходную функцию $y = x^2 + (a + 4)x + 2a + 3$, чтобы вычислить значение функции в вершине. Нам известно, что минимальное значение функции на отрезке $[0; 2]$ равно $-4$. То есть, мы приравниваем функцию к $-4$.

Подставляем $x = -\frac{a + 4}{2}$ в выражение для $y$:

$$-4 = \left( -\frac{a + 4}{2} \right)^2 + (a + 4)\left( -\frac{a + 4}{2} \right) + 2a + 3$$

Разберем это поэтапно.

Сначала вычислим квадрат первой части:

$$\left( -\frac{a + 4}{2} \right)^2 = \frac{(a + 4)^2}{4}$$

Теперь вычислим произведение второй части:

$$(a + 4)\left( -\frac{a + 4}{2} \right) = -\frac{(a + 4)^2}{2}$$

Подставим все это в уравнение:

$$-4 = \frac{(a + 4)^2}{4} — \frac{(a + 4)^2}{2} + 2a + 3$$

Теперь приводим к общему знаменателю:

$$-4 = \frac{(a + 4)^2}{4} — \frac{2(a + 4)^2}{4} + 2a + 3$$ $$-4 = \frac{(a + 4)^2 — 2(a + 4)^2}{4} + 2a + 3$$ $$-4 = -\frac{(a + 4)^2}{4} + 2a + 3$$

Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дробей:

$$-16 = -(a + 4)^2 + 8a + 12$$

Переносим все на одну сторону:

$$0 = (a + 4)^2 — 8a — 28$$

Раскрываем квадрат:

$$0 = a^2 + 8a + 16 — 8a — 28$$ $$0 = a^2 — 12$$

Решаем это уравнение:

$$a^2 = 12$$ $$a = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$$

Шаг 5: Проверим, где лежит вершина

Теперь рассмотрим три случая, когда вершина может быть на отрезке $[0; 2]$.

1. Если вершина лежит правее отрезка $[0; 2]$:

Когда вершина лежит правее, $x = 2$, и мы подставляем $x = 2$ в функцию. Получаем:

$$-4 = 2 \cdot 2 + 2(a + 4) + 2a + 3$$

Решаем это уравнение:

$$-4 = 4 + 2a + 8 + 2a + 3$$ $$-4 = 4a + 15$$ $$4a = -19 \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{19}{4} = -4.75$$

2. Если вершина лежит левее отрезка $[0; 2]$:

Когда вершина лежит левее, $x = 0$, и подставляем $x = 0$ в функцию:

$$-4 = 0^2 + (a + 4) \cdot 0 + 2a + 3$$

Получаем:

$$-4 = 2a + 3$$ $$2a = -7 \quad \Rightarrow \quad a = -3.5$$

Ответ:

Верхняя граница для $a$ может быть $a = -3.5$. Это значение соответствует случаю, когда вершина лежит левее отрезка.

Ответ: $a = -3.5$.