ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 871 Алимов — Подробные Ответы

1. sin 5x + cos (2x — 3);
2. e2x — ln 3x;
3. sin (x — 3) — ln (1 — 2x);
4. 6 sin2x/3 — -e^(1-3x).

1. $f(x) = \sin 5x + \cos(2x — 3)$;
   $f'(x) = (\sin 5x)’ + (\cos(2x — 3))’ = 5 \cos 5x — 2 \sin(2x — 3)$;
2. $f(x) = e^{2x} — \ln 3x$;
   $f'(x) = (e^{2x})’ — (\ln 3x)’ = 2e^{2x} — \frac{3}{3x} = 2e^{2x} — \frac{1}{x}$;
3. $f(x) = \sin(x — 3) — \ln(1 — 2x)$;
   $f'(x) = (\sin(x — 3))’ — (\ln(1 — 2x))’$;
   $f'(x) = \cos(x — 3) — \frac{-2}{1 — 2x}$;
   $f'(x) = \cos(x — 3) + \frac{2}{1 — 2x}$;
4. $f(x) = 6 \sin \frac{2x}{3} — e^{1-3x}$;
   $f'(x) = 6 \cdot \left( \sin \frac{2x}{3} \right)’ — (e^{1-3x})’$;
   $f'(x) = 6 \cdot \frac{2}{3} \cdot \cos \frac{2x}{3} — (-3) \cdot e^{1-3x}$;
   $f'(x) = 4 \cos \frac{2x}{3} + 3e^{1-3x}$

Задача 1

Дано:

$f(x) = \sin 5x + \cos(2x — 3)$

Нужно найти производную $f'(x)$.

Решение:

Для нахождения производной используем несколько правил дифференцирования:

1. Производная от $\sin(kx)$ по цепному правилу:

   $$\frac{d}{dx}(\sin(kx)) = k \cos(kx).$$

2. Производная от $\cos(kx)$ по цепному правилу:

   $$\frac{d}{dx}(\cos(kx)) = -k \sin(kx).$$

Теперь применяем эти правила:

1. Производная от $\sin 5x$ по цепному правилу:

   $$\frac{d}{dx}(\sin 5x) = 5 \cos 5x.$$

2. Производная от $\cos(2x — 3)$ по цепному правилу:

   $$\frac{d}{dx}(\cos(2x — 3)) = -2 \sin(2x — 3).$$

Теперь складываем все производные:

$$f'(x) = 5 \cos 5x — 2 \sin(2x — 3).$$

Ответ:

$$f'(x) = 5 \cos 5x — 2 \sin(2x — 3).$$

Задача 2

Дано:

$f(x) = e^{2x} — \ln 3x$

Нужно найти производную $f'(x)$.

Решение:

Для нахождения производной используем стандартные правила дифференцирования:

1. Производная от $e^{kx}$:

   $$\frac{d}{dx}(e^{kx}) = k e^{kx}.$$

2. Производная от $\ln(kx)$, где $k$ — это константа:

   $$\frac{d}{dx}(\ln(kx)) = \frac{1}{kx} \cdot k = \frac{1}{x}.$$

Теперь применяем эти правила:

1. Производная от $e^{2x}$:

   $$\frac{d}{dx}(e^{2x}) = 2e^{2x}.$$

2. Производная от $\ln(3x)$ (заметим, что $3x$ — это функция, которую дифференцируем по стандартному правилу):

   $$\frac{d}{dx}(\ln 3x) = \frac{1}{3x} \cdot 3 = \frac{1}{x}.$$

Теперь складываем все производные:

$$f'(x) = 2e^{2x} — \frac{1}{x}.$$

Ответ:

$$f'(x) = 2e^{2x} — \frac{1}{x}.$$

Задача 3

Дано:

$f(x) = \sin(x — 3) — \ln(1 — 2x)$

Нужно найти производную $f'(x)$.

Решение:

Для нахождения производной используем несколько правил:

1. Производная от $\sin(kx + b)$ по цепному правилу:

   $$\frac{d}{dx}(\sin(kx + b)) = \cos(kx + b) \cdot k.$$

2. Производная от $\ln(u(x))$, где $u(x)$ — это функция от $x$, по цепному правилу:

   $$\frac{d}{dx}(\ln u(x)) = \frac{u'(x)}{u(x)}.$$

Теперь применяем эти правила:

1. Производная от $\sin(x — 3)$:

   $$\frac{d}{dx}(\sin(x — 3)) = \cos(x — 3).$$

2. Производная от $\ln(1 — 2x)$ по цепному правилу:

   $$\frac{d}{dx}(\ln(1 — 2x)) = \frac{-2}{1 — 2x}.$$

Теперь складываем все производные:

$$f'(x) = \cos(x — 3) + \frac{2}{1 — 2x}.$$

Ответ:

$$f'(x) = \cos(x — 3) + \frac{2}{1 — 2x}.$$

Задача 4

Дано:

$f(x) = 6 \sin \frac{2x}{3} — e^{1-3x}$

Нужно найти производную $f'(x)$.

Решение:

Для нахождения производной используем несколько правил:

1. Производная от $\sin(kx)$ по цепному правилу:

   $$\frac{d}{dx}(\sin(kx)) = k \cos(kx).$$

2. Производная от $e^{kx}$ по цепному правилу:

   $$\frac{d}{dx}(e^{kx}) = k e^{kx}.$$

Теперь применяем эти правила:

1. Производная от $\sin \frac{2x}{3}$:

   $$\frac{d}{dx}(\sin \frac{2x}{3}) = \frac{2}{3} \cos \frac{2x}{3}.$$

   Умножаем на 6, так как перед функцией $\sin$:

   $$6 \cdot \frac{2}{3} \cdot \cos \frac{2x}{3} = 4 \cos \frac{2x}{3}.$$

2. Производная от $e^{1-3x}$:

   $$\frac{d}{dx}(e^{1-3x}) = (-3) e^{1-3x}.$$

Теперь складываем все производные:

$$f'(x) = 4 \cos \frac{2x}{3} + 3e^{1-3x}.$$

Ответ:

$$f'(x) = 4 \cos \frac{2x}{3} + 3e^{1-3x}.$$