ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 715 Алимов — Подробные Ответы

Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [-пи/2; 3 пи/2]:

1. cos2x=1/2;
2. cos3x=корень 3/2.

Требуется найти корни уравнения на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$:

$\cos 2x = \frac{1}{2}$;

$2x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$

$x = \frac{1}{2} \cdot \left( \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \right) = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n;$

Значения на искомом отрезке:
$x_1 = -\frac{\pi}{6};$
$x_2 = \frac{\pi}{6};$
$x_3 = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6};$
$x_4 = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6};$

$\cos 3x = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

$3x = \pm \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n;$

$x = \frac{1}{3} \cdot \left( \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n \right) = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3};$

Значения на искомом отрезке:
$x_1 = -\frac{\pi}{18};$
$x_2 = \frac{\pi}{18};$
$x_3 = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi}{3} = \frac{11\pi}{18};$
$x_4 = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi}{3} = \frac{13\pi}{18};$
$x_5 = -\frac{\pi}{18} + \frac{4\pi}{3} = \frac{23\pi}{18};$
$x_6=\frac{\pi }{18}+\frac{4\pi }{3}=\frac{25\pi }{18}$

Нужно найти все корни уравнений на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$:

1) Найти $x$, при которых

$$\cos 2x = \frac{1}{2}$$

Подробное решение:

Шаг 1. Запишем уравнение и вспомним свойства косинуса

Уравнение:

$$\cos 2x = \frac{1}{2}$$

Значения косинуса равны $\frac{1}{2}$ в двух основных точках на периоде $2\pi$:

$$\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$$

Косинус равен $\frac{1}{2}$ в точках:

$$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Знак $\pm$ учитывает симметрию косинуса: $\cos \theta = \cos (-\theta)$.

Шаг 2. Найдем общее решение для $x$

Разделим обе части на 2:

$$x = \frac{1}{2} \left( \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \right)$$ $$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Шаг 3. Найдем конкретные корни $x$, лежащие на отрезке

Отрезок:

$$-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3\pi}{2}$$

Подставим значения $n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$, чтобы найти корни, которые попадают в данный промежуток.

Для $n=0$:

$$x = \pm \frac{\pi}{6}$$

• $x = -\frac{\pi}{6} \approx -0.5236$ — входит в отрезок, т.к. $-\frac{\pi}{2} \approx -1.5708 < -0.5236$.
• $x = \frac{\pi}{6} \approx 0.5236$ — входит в отрезок.

Для $n=1$:

$$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 1 = \pm \frac{\pi}{6} + \pi$$

Посчитаем каждое:

• $x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{\pi}{6} + \frac{6\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} \approx 3.665$.
  Проверим, входит ли в отрезок:

$$\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6} \approx 4.712$$ $$\frac{7\pi}{6} \approx 3.665 < 4.712$$

Значит, входит.

• $x = -\frac{\pi}{6} + \pi = \pi — \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \approx 2.618$

Проверим:

$$2.618 < 4.712$$

Входит в отрезок.

Для $n = -1$:

$$x = \pm \frac{\pi}{6} — \pi$$

• $x = \frac{\pi}{6} — \pi = \frac{\pi}{6} — \frac{6\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6} \approx -2.618$,
  не входит, т.к. меньше нижней границы $-\frac{\pi}{2} \approx -1.5708$.
• $x = -\frac{\pi}{6} — \pi = -\frac{\pi}{6} — \frac{6\pi}{6} = -\frac{7\pi}{6} \approx -3.665$,
  ещё меньше, не входит.

Итог: Корни на отрезке

$$x_1 = -\frac{\pi}{6}, \quad x_2 = \frac{\pi}{6}, \quad x_3 = \frac{5\pi}{6}, \quad x_4 = \frac{7\pi}{6}$$

Проверка (опционально):

Подставим $x_1 = -\frac{\pi}{6}$:

$$2x_1 = 2 \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\pi}{3}$$ $$\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$$

Верно.

2) Найти $x$, при которых

$$\cos 3x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Подробное решение:

Шаг 1. Запишем уравнение и вспомним свойства косинуса

$$\cos 3x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Значение косинуса $\frac{\sqrt{3}}{2}$ соответствует углу:

$$\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$$

Косинус равен этому значению в точках:

$$3x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 2. Найдем общее решение для $x$

Разделим на 3:

$$x = \frac{1}{3} \left( \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n \right)$$ $$x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}$$

Шаг 3. Найдем конкретные корни $x$, лежащие на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$

Для $n=0$:

$$x = \pm \frac{\pi}{18}$$

• $x = -\frac{\pi}{18} \approx -0.1745$ входит в отрезок.
• $x = \frac{\pi}{18} \approx 0.1745$ входит.

Для $n=1$:

$$x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi}{3}$$

Вычислим:

$$\frac{2\pi}{3} = \frac{12\pi}{18} \approx 2.0944$$

• $x = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi}{3} = \frac{11\pi}{18} \approx 1.9199$ входит, так как

$$-\frac{\pi}{2} \approx -1.5708 < 1.9199 < \frac{3\pi}{2} \approx 4.7124$$

• $x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi}{3} = \frac{13\pi}{18} \approx 2.2689$ тоже входит.

Для $n=2$:

$$x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{4\pi}{3}$$

Вычислим:

$$\frac{4\pi}{3} = \frac{24\pi}{18} \approx 4.1888$$

• $x = -\frac{\pi}{18} + \frac{4\pi}{3} = \frac{23\pi}{18} \approx 4.0133$ входит, т.к.

$$4.0133 < 4.7124$$

• $x = \frac{\pi}{18} + \frac{4\pi}{3} = \frac{25\pi}{18} \approx 4.3633$ входит.

Для $n=3$:

$$x = \pm \frac{\pi}{18} + 2\pi$$ $$2\pi \approx 6.2832 > \frac{3\pi}{2} \approx 4.7124$$

Значения выходят за пределы отрезка, поэтому $n=3$ и далее не подходят.

Итог: Корни на отрезке

$$x_1 = -\frac{\pi}{18}, \quad x_2 = \frac{\pi}{18}, \quad x_3 = \frac{11\pi}{18}, \quad x_4 = \frac{13\pi}{18}, \quad x_5 = \frac{23\pi}{18}, \quad x_6 = \frac{25\pi}{18}$$

Проверка (опционально):

Подставим $x_3 = \frac{11\pi}{18}$:

$$3x_3 = 3 \cdot \frac{11\pi}{18} = \frac{33\pi}{18} = \frac{11\pi}{6}$$

Косинус $\frac{11\pi}{6}$ равен:

$$\cos \frac{11\pi}{6} = \cos \left(2\pi — \frac{\pi}{6}\right) = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Верно.

Ответ:

1. $$\boxed{ x = -\frac{\pi}{6}, \quad \frac{\pi}{6}, \quad \frac{5\pi}{6}, \quad \frac{7\pi}{6} }$$
2. $$\boxed{ x = -\frac{\pi}{18}, \quad \frac{\pi}{18}, \quad \frac{11\pi}{18}, \quad \frac{13\pi}{18}, \quad \frac{23\pi}{18}, \quad \frac{25\pi}{18} }$$