ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1553 Алимов — Подробные Ответы

1. у = sin 2х cos Зх;
2. у = х cos 2х.

$y = \sin 2x \cdot \cos 3x$;

$y'(x) = (\sin 2x)’ \cdot \cos 3x + \sin 2x \cdot (\cos 3x)’$;

$y'(x) = 2 \cos 2x \cdot \cos 3x + \sin 2x \cdot (-3 \sin 3x)$;

$y'(x) = \frac{4 \cos 2x \cdot \cos 3x — 6 \sin 2x \cdot \sin 3x}{2}$;

$y'(x) = \frac{5(\cos 2x \cdot \cos 3x — \sin 2x \cdot \sin 3x) — (\cos 2x \cdot \cos 3x + \sin 2x \cdot \sin 3x)}{2}$;

$y'(x) = \frac{5 \cos (2x + 3x) — \cos (3x — 2x)}{2} = \frac{5 \cos 5x — \cos x}{2}$

$y = x \cdot \cos 2x$;

$y'(x) = (x)’ \cdot \cos 2x + x \cdot (\cos 2x)’$;

$y'(x) = 1 \cdot \cos 2x + x \cdot (-2 \sin 2x)$;

$y'(x) = \cos 2x — 2x \cdot \sin 2x$

1) $y = \sin 2x \cdot \cos 3x$

Наша цель — найти производную функции $y(x) = \sin 2x \cdot \cos 3x$. Для этого будем использовать правило произведения и цепное правило.

Шаг 1: Применение правила произведения

Правило произведения для двух функций $f(x)$ и $g(x)$ гласит, что:

$$y'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x),$$

где $f(x) = \sin 2x$ и $g(x) = \cos 3x$.

Шаг 2: Находим производные функций $f(x)$ и $g(x)$

• Для функции $f(x) = \sin 2x$ применяем цепное правило. Производная синуса будет:

$$f'(x) = (\sin 2x)’ = 2 \cos 2x.$$

• Для функции $g(x) = \cos 3x$, опять применяем цепное правило:

$$g'(x) = (\cos 3x)’ = -3 \sin 3x.$$

Шаг 3: Подставляем производные в правило произведения

Теперь, используя найденные производные, подставим их в формулу для производной:

$$y'(x) = 2 \cos 2x \cdot \cos 3x + \sin 2x \cdot (-3 \sin 3x).$$

Шаг 4: Упрощаем выражение

Мы получаем:

$$y'(x) = 2 \cos 2x \cdot \cos 3x — 3 \sin 2x \cdot \sin 3x.$$

Теперь заметим, что выражение напоминает формулы для тригонометрических функций. Мы можем использовать формулу косинуса суммы:

$$\cos(A + B) = \cos A \cdot \cos B — \sin A \cdot \sin B.$$

Тогда, представив $2x$ и $3x$ как аргументы, получаем:

$$\cos 2x \cdot \cos 3x — \sin 2x \cdot \sin 3x = \cos(2x + 3x) = \cos 5x.$$

Следовательно, производная будет выглядеть так:

$$y'(x) = \frac{4 \cos 2x \cdot \cos 3x — 6 \sin 2x \cdot \sin 3x}{2}.$$

Шаг 5: Разбираем числитель

Мы можем теперь использовать формулу для упрощения числителя, разделив его на два:

$$y'(x) = \frac{5 \cos(2x + 3x) — \cos(3x — 2x)}{2}.$$

Заменим $2x + 3x$ на $5x$ и $3x — 2x$ на $x$:

$$y'(x) = \frac{5 \cos 5x — \cos x}{2}.$$

Шаг 6: Финальный ответ

Таким образом, производная функции $y(x)$ будет:

$$y'(x) = \frac{5 \cos 5x — \cos x}{2}.$$

2) $y = x \cdot \cos 2x$

Для нахождения производной функции $y(x) = x \cdot \cos 2x$ снова будем использовать правило произведения и цепное правило.

Шаг 1: Применение правила произведения

Сначала представим функцию как произведение двух функций:

$$f(x) = x \quad \text{и} \quad g(x) = \cos 2x.$$

Правило дифференцирования произведения гласит:

$$y'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x).$$

Шаг 2: Находим производные $f(x)$ и $g(x)$

• Для функции $f(x) = x$, производная проста:

$$f'(x) = 1.$$

• Для функции $g(x) = \cos 2x$ применяем цепное правило. Производная косинуса будет:

$$g'(x) = -2 \sin 2x.$$

Шаг 3: Подставляем производные в правило произведения

Теперь подставляем найденные производные в правило произведения:

$$y'(x) = 1 \cdot \cos 2x + x \cdot (-2 \sin 2x).$$

Шаг 4: Упрощаем выражение

Получаем:

$$y'(x) = \cos 2x — 2x \cdot \sin 2x.$$

Шаг 5: Финальный ответ

Таким образом, производная функции $y(x)$ будет:

$$y'(x) = \cos 2x — 2x \cdot \sin 2x.$$