ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 497 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение:

1. cos 6х cos 5х + sin 6х sin 5х = -1;
2. sin Зх cos 5х — sin 5х cos Зх = -1;
3. корень 2 cos(пи/4 + x) — cosx =1;
4. корень 2 sin(пи/4 — x/2) + sinx/2 =1.

1.

$$\cos 6x \cdot \cos 5x + \sin 6x \cdot \sin 5x = -1;$$ $$\cos(6x — 5x) = -1;$$ $$\cos x = -1;$$

Искомая точка на окружности:

$$(-1; 0);$$

Значит $x$ принимает значение:

$$x = \pi + 2\pi k;$$

Ответ:

$$x = \pi + 2\pi k.$$

2.

$$\sin 3x \cdot \cos 5x — \sin 5x \cdot \cos 3x = -1;$$ $$\sin(3x — 5x) = -1;$$ $$\sin(-2x) = -1;$$ $$-\sin 2x = -1;$$ $$\sin 2x = 1;$$

Искомая точка на окружности:

$$(0; 1);$$

Значит $x$ принимает значение:

$$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \text{ отсюда } x = \frac{\pi}{4} + \pi k;$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi k.$$

3.

$$\sqrt{2} \cos\left(\frac{\pi}{4} + x\right) — \cos x = 1;$$ $$\sqrt{2} \cdot \left(\cos \frac{\pi}{4} \cdot \cos x — \sin \frac{\pi}{4} \cdot \sin x\right) — \cos x = 1;$$ $$\sqrt{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos x — \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin x\right) — \cos x = 1;$$ $$\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (\cos x — \sin x) — \cos x = 1;$$ $$\cos x — \sin x — \cos x = 1;$$ $$-\sin x = 1;$$ $$\sin x = -1;$$

Искомая точка на окружности:

$$(0; -1);$$

Значит $x$ принимает значение:

$$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k;$$

Ответ:

$$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k.$$

4.

$$\sqrt{2} \sin\left(\frac{\pi}{4} — \frac{x}{2}\right) + \sin \frac{x}{2} = 1;$$ $$\sqrt{2} \cdot \left(\sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos \frac{x}{2} — \cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin \frac{x}{2}\right) + \sin \frac{x}{2} = 1;$$ $$\sqrt{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin \frac{x}{2}\right) + \sin \frac{x}{2} = 1;$$ $$\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(\cos \frac{x}{2} — \sin \frac{x}{2}\right) + \sin \frac{x}{2} = 1;$$ $$\cos \frac{x}{2} — \sin \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} = 1;$$ $$\cos \frac{x}{2} = 1;$$

Искомая точка на окружности:

$$(1; 0);$$

Значит $x$ принимает значение:

$$\frac{x}{2} = 0 + 2\pi k, \text{ отсюда } x = 4\pi k;$$

Ответ:

$$x=4\pi k\mathrm{.}$$

1)

$$\cos 6x \cdot \cos 5x + \sin 6x \cdot \sin 5x = -1$$

Шаг 1: Распознаём формулу косинуса разности

Формула косинуса разности углов:

$$\cos(\alpha — \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta$$

Здесь:

$$\alpha = 6x, \quad \beta = 5x$$

Шаг 2: Применяем формулу

$$\cos 6x \cdot \cos 5x + \sin 6x \cdot \sin 5x = \cos(6x — 5x) = \cos x$$

Шаг 3: Подставляем в исходное уравнение

$$\cos x = -1$$

Шаг 4: Определяем углы, при которых $\cos x = -1$ на тригонометрической окружности

$$\cos x = -1 \quad \Rightarrow \quad x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$\boxed{x = \pi + 2\pi k}$$

2)

$$\sin 3x \cdot \cos 5x — \sin 5x \cdot \cos 3x = -1$$

Шаг 1: Распознаём формулу синуса разности

Формула синуса разности:

$$\sin(\alpha — \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta — \cos \alpha \cdot \sin \beta$$

Здесь:

$$\alpha = 3x, \quad \beta = 5x$$

Шаг 2: Применяем формулу

$$\sin 3x \cdot \cos 5x — \sin 5x \cdot \cos 3x = \sin(3x — 5x) = \sin(-2x) = -\sin 2x$$

Шаг 3: Подставляем в уравнение

$$-\sin 2x = -1 \quad \Rightarrow \quad \sin 2x = 1$$

Шаг 4: Определяем углы, при которых $\sin 2x = 1$

$$\sin 2x = 1 \quad \Rightarrow \quad 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Шаг 5: Решаем для $x$

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi k$$

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi}{4} + \pi k}$$

3)

$$\sqrt{2} \cos\left(\frac{\pi}{4} + x\right) — \cos x = 1$$

Шаг 1: Раскрываем $\cos\left(\frac{\pi}{4} + x\right)$ по формуле суммы:

$$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta — \sin \alpha \cdot \sin \beta$$

Здесь:

$$\alpha = \frac{\pi}{4}, \quad \beta = x$$

Шаг 2: Подставляем:

$$\cos\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = \cos \frac{\pi}{4} \cdot \cos x — \sin \frac{\pi}{4} \cdot \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x$$

Шаг 3: Умножаем на $\sqrt{2}$ и подставляем в уравнение:

$$\sqrt{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x\right) — \cos x = 1$$ $$= \left(\cos x — \sin x\right) — \cos x = 1$$

Шаг 4: Упрощаем:

$$\cos x — \sin x — \cos x = -\sin x = 1$$

Шаг 5: Решаем:

$$-\sin x = 1 \quad \Rightarrow \quad \sin x = -1$$

Шаг 6: Определяем углы, при которых $\sin x = -1$:

$$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$\boxed{x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k}$$

4)

$$\sqrt{2} \sin\left(\frac{\pi}{4} — \frac{x}{2}\right) + \sin \frac{x}{2} = 1$$

Шаг 1: Раскрываем $\sin\left(\frac{\pi}{4} — \frac{x}{2}\right)$ по формуле разности:

$$\sin(\alpha — \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta — \cos \alpha \cdot \sin \beta$$

Здесь:

$$\alpha = \frac{\pi}{4}, \quad \beta = \frac{x}{2}$$

Шаг 2: Подставляем:

$$\sin\left(\frac{\pi}{4} — \frac{x}{2}\right) = \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos \frac{x}{2} — \cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \frac{x}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \frac{x}{2}$$

Шаг 3: Умножаем на $\sqrt{2}$ и подставляем в уравнение:

$$\sqrt{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \frac{x}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \frac{x}{2}\right) + \sin \frac{x}{2} = 1$$ $$= \left(\cos \frac{x}{2} — \sin \frac{x}{2}\right) + \sin \frac{x}{2} = 1$$

Шаг 4: Упрощаем:

$$\cos \frac{x}{2} — \sin \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} = \cos \frac{x}{2} = 1$$

Шаг 5: Определяем углы, при которых $\cos \frac{x}{2} = 1$:

$$\frac{x}{2} = 0 + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Шаг 6: Решаем для $x$:

$$x = 4\pi k$$

Ответ:

$$\boxed{x = 4\pi k}$$