ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1379 Алимов — Подробные Ответы

1. sin 5x — sin 3x;
2. cos 6x + cos 2x = 0;
3. sin 3x + cos 7x = 0;
4. sin x = cos 5x.

1)

$$\sin 5x = \sin 3x;$$ $$\sin 5x — \sin 3x = 0;$$ $$2 \cdot \sin \frac{5x — 3x}{2} \cdot \cos \frac{5x + 3x}{2} = 0;$$ $$\sin x \cdot \cos 4x = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin x = 0;$$ $$x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\cos 4x = 0;$$ $$4x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{4} \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4};$$

Ответ: $\pi n; \, \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$.

2)

$$\cos 6x + \cos 2x = 0;$$ $$2 \cdot \cos \frac{6x + 2x}{2} \cdot \cos \frac{6x — 2x}{2} = 0;$$ $$\cos 4x \cdot \cos 2x = 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos 4x = 0;$$ $$4x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{4} \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4};$$

Второе уравнение:

$$\cos 2x = 0;$$ $$2x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2};$$

Ответ: $\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}; \, \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$.

3)

$$\sin 3x + \cos 7x = 0;$$ $$\sin 3x + \sin \left( \frac{\pi}{2} + 7x \right) = 0;$$ $$2 \cdot \sin \frac{\frac{\pi}{2} + 7x + 3x}{2} \cdot \cos \frac{\frac{\pi}{2} + 7x — 3x}{2} = 0;$$ $$\sin \left( \frac{\pi}{4} + 5x \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{4} + 2x \right) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin \left( \frac{\pi}{4} + 5x \right) = 0;$$ $$\frac{\pi}{4} + 5x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$ $$5x = -\frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{5} \left( -\frac{\pi}{4} + \pi n \right) = -\frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5};$$

Второе уравнение:

$$\cos \left( \frac{\pi}{4} + 2x \right) = 0;$$ $$\frac{\pi}{4} + 2x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$2x = \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{4} + \pi n \right) = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2};$$

Ответ: $-\frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}; \, \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$.

4)

$$\sin x = \cos 5x;$$ $$\sin x — \cos 5x = 0;$$ $$\sin x — \sin \left( \frac{\pi}{2} — 5x \right) = 0;$$ $$2 \cdot \cos \frac{x + \frac{\pi}{2} — 5x}{2} \cdot \sin \frac{x — \frac{\pi}{2} + 5x}{2} = 0;$$ $$\cos \left( 2x — \frac{\pi}{4} \right) \cdot \sin \left( 3x — \frac{\pi}{4} \right) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos \left( 2x — \frac{\pi}{4} \right) = 0;$$ $$2x — \frac{\pi}{4} = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$2x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \left( \frac{3\pi}{4} + \pi n \right) = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi n}{2};$$

Второе уравнение:

$$\sin \left( 3x — \frac{\pi}{4} \right) = 0;$$ $$3x — \frac{\pi}{4} = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$ $$3x = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{3} \left( \frac{\pi}{4} + \pi n \right) = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3};$$

Ответ: $\frac{3\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}; \, \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$.

Задача 1

Уравнение:

$$\sin 5x = \sin 3x$$

Применение формулы для разности синусов:

Сначала преобразуем левую часть, используя формулу разности синусов:

$$\sin A — \sin B = 2 \cdot \sin \left( \frac{A — B}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{A + B}{2} \right)$$

Подставляем $A = 5x$ и $B = 3x$:

$$\sin 5x — \sin 3x = 2 \cdot \sin \left( \frac{5x — 3x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{5x + 3x}{2} \right)$$

Получаем:

$$2 \cdot \sin x \cdot \cos 4x = 0$$

Решение уравнения:
Теперь у нас есть произведение двух функций:

$$2 \cdot \sin x \cdot \cos 4x = 0$$

Чтобы произведение равно нулю, хотя бы один из множителей должен быть равен нулю.

Решение первого уравнения $\sin x = 0$:

$$\sin x = 0$$

Для синуса, равного нулю, решение будет:

$$x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n$$

Где $n$ — целое число.

Решение второго уравнения $\cos 4x = 0$:

$$\cos 4x = 0$$

Для косинуса, равного нулю, решение будет:

$$4x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$$ $$x = \frac{1}{4} \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$$

Ответ:

$$x = \pi n; \quad x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$$

Задача 2

Уравнение:

$$\cos 6x + \cos 2x = 0$$

Применение формулы для суммы косинусов:

Используем формулу для суммы косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cdot \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Подставляем $A = 6x$ и $B = 2x$:

$$\cos 6x + \cos 2x = 2 \cdot \cos \left( \frac{6x + 2x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{6x — 2x}{2} \right)$$

Получаем:

$$2 \cdot \cos 4x \cdot \cos 2x = 0$$

Решение уравнения:
Теперь у нас есть произведение двух функций:

$$2 \cdot \cos 4x \cdot \cos 2x = 0$$

Чтобы произведение было равно нулю, хотя бы один множитель должен быть равен нулю.

Решение первого уравнения $\cos 4x = 0$:

$$\cos 4x = 0$$

Для косинуса, равного нулю, решение будет:

$$4x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$$ $$x = \frac{1}{4} \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$$

Решение второго уравнения $\cos 2x = 0$:

$$\cos 2x = 0$$

Для косинуса, равного нулю, решение будет:

$$2x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$$ $$x = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}; \quad x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$$

Задача 3

Уравнение:

$$\sin 3x + \cos 7x = 0$$

Применение тригонометрической идентичности:

Преобразуем косинус в синус с помощью следующей идентичности:

$$\cos \left( \frac{\pi}{2} + y \right) = -\sin y$$

Подставляем в уравнение:

$$\sin 3x + \sin \left( \frac{\pi}{2} + 7x \right) = 0$$

Используем формулу для суммы синусов:

С помощью формулы для суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \cdot \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Подставляем $A = 3x$ и $B = \frac{\pi}{2} + 7x$:

$$2 \cdot \sin \left( \frac{\frac{\pi}{2} + 7x + 3x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{\frac{\pi}{2} + 7x — 3x}{2} \right) = 0$$

Получаем:

$$\sin \left( \frac{\pi}{4} + 5x \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{4} + 2x \right) = 0$$

Решение первого уравнения $\sin \left( \frac{\pi}{4} + 5x \right) = 0$:

$$\sin \left( \frac{\pi}{4} + 5x \right) = 0$$

Для синуса, равного нулю, решение будет:

$$\frac{\pi}{4} + 5x = \pi n$$ $$5x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$ $$x = \frac{1}{5} \left( -\frac{\pi}{4} + \pi n \right) = -\frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}$$

Решение второго уравнения $\cos \left( \frac{\pi}{4} + 2x \right) = 0$:

$$\cos \left( \frac{\pi}{4} + 2x \right) = 0$$

Для косинуса, равного нулю, решение будет:

$$\frac{\pi}{4} + 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$ $$2x = \frac{\pi}{4} + \pi n$$ $$x = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{4} + \pi n \right) = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ:

$$x = -\frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}; \quad x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$$

Задача 4

Уравнение:

$$\sin x = \cos 5x$$

Используем тригонометрическую идентичность:

$$\cos 5x = \sin \left( \frac{\pi}{2} — 5x \right)$$

Получаем:

$$\sin x = \sin \left( \frac{\pi}{2} — 5x \right)$$

Используем формулу для разности синусов:

Применяем формулу для разности синусов:

$$\sin A — \sin B = 2 \cdot \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Подставляем:

$$\sin x — \sin \left( \frac{\pi}{2} — 5x \right) = 0$$

Получаем:

$$2 \cdot \cos \left( 2x — \frac{\pi}{4} \right) \cdot \sin \left( 3x — \frac{\pi}{4} \right) = 0$$

Решение первого уравнения $\cos \left( 2x — \frac{\pi}{4} \right) = 0$:

$$\cos \left( 2x — \frac{\pi}{4} \right) = 0$$

Для косинуса, равного нулю, решение будет:

$$2x — \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n$$ $$2x = \frac{3\pi}{4} + \pi n$$ $$x = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$$

Решение второго уравнения $\sin \left( 3x — \frac{\pi}{4} \right) = 0$:

$$\sin \left( 3x — \frac{\pi}{4} \right) = 0$$

Для синуса, равного нулю, решение будет:

$$3x — \frac{\pi}{4} = \pi n$$ $$3x = \frac{\pi}{4} + \pi n$$ $$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$$

Ответ:

$$x = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}; \quad x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$$