ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 369 Алимов — Подробные Ответы

1. log1/4(64);
2. log1/3(81);
3. log1/3(1/27);
4. log1/2(1/64).

1. $\log_{\frac{1}{4}} 64 = \log_{\frac{1}{4}} 4^3 = \log_{\frac{1}{4}} \left( \frac{1}{4} \right)^{-3} = -3$;
2. $\log_{\frac{1}{3}} 81 = \log_{\frac{1}{3}} 3^4 = \log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{1}{3} \right)^{-4} = -4$;
3. $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{27} = \log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{1}{3} \right)^3 = 3$;
4. $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{64} = \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{2} \right)^6 = 6$;

Мы будем использовать следующие основные свойства логарифмов:

1. $\log_b b^a = a$
2. $\left( \frac{1}{b} \right)^n = b^{-n}$
3. Если $x = b^a$, то $\log_b x = a$

1) $\log_{\frac{1}{4}} 64$

Шаг 1. Заметим:

$$64 = 4^3 \quad \text{(так как } 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64\text{)}$$

Шаг 2. Подставим:

$$\log_{\frac{1}{4}} 64 = \log_{\frac{1}{4}} (4^3)$$

Шаг 3. Преобразуем основание:

$$4^3 = \left( \frac{1}{4} \right)^{-3} \quad \text{(по правилу: } b^{-n} = \frac{1}{b^n} \text{)}$$

Шаг 4. Подставим:

$$\log_{\frac{1}{4}} \left( \frac{1}{4} \right)^{-3}$$

Шаг 5. Используем свойство логарифма:

$$\log_b (b^a) = a \Rightarrow \log_{\frac{1}{4}} \left( \frac{1}{4} \right)^{-3} = -3$$

Ответ:

$$\log_{\frac{1}{4}} 64 = -3$$

2) $\log_{\frac{1}{3}} 81$

Шаг 1. Заметим:

$$81 = 3^4 \quad \text{(так как } 3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81\text{)}$$

Шаг 2. Подставим:

$$\log_{\frac{1}{3}} 81 = \log_{\frac{1}{3}} (3^4)$$

Шаг 3. Преобразуем:

$$3^4 = \left( \frac{1}{3} \right)^{-4}$$

Шаг 4. Получим:

$$\log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{1}{3} \right)^{-4}$$

Шаг 5. Применим:

$$\log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{1}{3} \right)^{-4} = -4$$

Ответ:

$$\log_{\frac{1}{3}} 81 = -4$$

3) $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{27}$

Шаг 1. Заметим:

$$\frac{1}{27} = \left( \frac{1}{3} \right)^3 \quad \text{(так как } 3^3 = 27 \Rightarrow \frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = \left( \frac{1}{3} \right)^3\text{)}$$

Шаг 2. Подставим:

$$\log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{1}{3} \right)^3$$

Шаг 3. Используем:

$$\log_b (b^a) = a \Rightarrow \log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{1}{3} \right)^3 = 3$$

Ответ:

$$\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{27} = 3$$

4) $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{64}$

Шаг 1. Заметим:

$$\frac{1}{64} = \left( \frac{1}{2} \right)^6 \quad \text{(так как } 2^6 = 64\text{)}$$

Шаг 2. Подставим:

$$\log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{2} \right)^6$$

Шаг 3. Применим:

$$\log_b (b^a) = a \Rightarrow \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{2} \right)^6 = 6$$

Ответ:

$$\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{64} = 6$$

Окончательные ответы:

1. $\log_{\frac{1}{4}} 64 = -3$
2. $\log_{\frac{1}{3}} 81 = -4$
3. $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{27} = 3$
4. $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{64} = 6$