ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 551 Алимов — Подробные Ответы

1. $$\frac{\sin (\frac{\pi }{4}+a)-\cos (\frac{\pi }{4}+a)}{\sin (\frac{\pi }{4}+a)+\cos (\frac{\pi }{4}+a)}$$
2. $$\frac{\sin (\frac{\pi }{4}-a)+\cos (\frac{\pi }{4}-a)}{\sin (\frac{\pi }{4}-a)-\cos (\frac{\pi }{4}-a)}$$

1.

$$\frac{\sin (\frac{\pi }{4}+a)-\cos (\frac{\pi }{4}+a)}{\sin (\frac{\pi }{4}+a)+\cos (\frac{\pi }{4}+a)}=$$$$=\frac{\sin \frac{\pi }{4}\cdot \cos a+\sin a\cdot \cos \frac{\pi }{4}-\cos \frac{\pi }{4}\cdot \cos a+\sin \frac{\pi }{4}\cdot \sin a}{\sin \frac{\pi }{4}\cdot \cos a+\sin a\cdot \cos \frac{\pi }{4}+\cos \frac{\pi }{4}\cdot \cos a-\sin \frac{\pi }{4}\cdot \sin a}=$$$$=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \cos a+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a}{\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a}=\frac{\sqrt{2}\sin a}{\sqrt{2}\cos a}=\frac{\sin a}{\cos a}=\mathrm{tg}a;$$

2.

$$\frac{\sin (\frac{\pi }{4}-a)+\cos (\frac{\pi }{4}-a)}{\sin (\frac{\pi }{4}-a)-\cos (\frac{\pi }{4}-a)}=$$$$=\frac{\sin \frac{\pi }{4}\cdot \cos a-\sin a\cdot \cos \frac{\pi }{4}+\cos \frac{\pi }{4}\cdot \cos a+\sin \frac{\pi }{4}\cdot \sin a}{\sin \frac{\pi }{4}\cdot \cos a-\sin a\cdot \cos \frac{\pi }{4}-\cos \frac{\pi }{4}\cdot \cos a-\sin \frac{\pi }{4}\cdot \sin a}=$$$$=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a}{\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a}=\frac{\sqrt{2}\cos a}{-\sqrt{2}\sin a}=\frac{\cos a}{-\sin a}=-\mathrm{ctg}a$$

1) Упростить выражение:

$$\frac{\sin (\frac{\pi }{4}+a)-\cos (\frac{\pi }{4}+a)}{\sin (\frac{\pi }{4}+a)+\cos (\frac{\pi }{4}+a)}$$

Шаг 1. Раскроем синус и косинус суммы, используя формулы:

$$\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$$$$\cos (x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$$

Для числителя:

$$\sin (\frac{\pi }{4}+a)=\sin \frac{\pi }{4}\cos a+\cos \frac{\pi }{4}\sin a$$$$\cos (\frac{\pi }{4}+a)=\cos \frac{\pi }{4}\cos a-\sin \frac{\pi }{4}\sin a$$

Подставляем в числитель:

$$\sin (\frac{\pi }{4}+a)-\cos (\frac{\pi }{4}+a)=(\sin \frac{\pi }{4}\cos a+\cos \frac{\pi }{4}\sin a)-(\cos \frac{\pi }{4}\cos a-\sin \frac{\pi }{4}\sin a)$$

Шаг 2. Раскроем скобки в числителе:

$$=\sin \frac{\pi }{4}\cos a+\cos \frac{\pi }{4}\sin a-\cos \frac{\pi }{4}\cos a+\sin \frac{\pi }{4}\sin a$$

Шаг 3. Аналогично для знаменателя:

$$\sin (\frac{\pi }{4}+a)+\cos (\frac{\pi }{4}+a)=(\sin \frac{\pi }{4}\cos a+\cos \frac{\pi }{4}\sin a)+(\cos \frac{\pi }{4}\cos a-\sin \frac{\pi }{4}\sin a)$$

Шаг 4. Раскроем скобки в знаменателе:

$$=\sin \frac{\pi }{4}\cos a+\cos \frac{\pi }{4}\sin a+\cos \frac{\pi }{4}\cos a-\sin \frac{\pi }{4}\sin a$$

Шаг 5. Подставим числовые значения:

$$\sin \frac{\pi }{4}=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 6. Числитель становится:

$$\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a$$

Сгруппируем:

$$(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a)+(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a)=0+\sqrt{2}\sin a=\sqrt{2}\sin a$$

Шаг 7. Знаменатель:

$$\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a$$

Сгруппируем:

$$(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a)+(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a)=\sqrt{2}\cos a+0=\sqrt{2}\cos a$$

Шаг 8. Теперь исходное выражение равно:

$$\frac{\sqrt{2}\sin a}{\sqrt{2}\cos a}=\frac{\sin a}{\cos a}=\mathrm{tg}a$$

Итог:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{\sin (\frac{\pi }{4}+a)-\cos (\frac{\pi }{4}+a)}{\sin (\frac{\pi }{4}+a)+\cos (\frac{\pi }{4}+a)}=\mathrm{tg}a}}$$

2) Упростить выражение:

$$\frac{\sin (\frac{\pi }{4}-a)+\cos (\frac{\pi }{4}-a)}{\sin (\frac{\pi }{4}-a)-\cos (\frac{\pi }{4}-a)}$$

Шаг 1. Раскроем синус и косинус разности:

$$\sin (x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$$$$\cos (x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$$

Для числителя:

$$\sin (\frac{\pi }{4}-a)=\sin \frac{\pi }{4}\cos a-\cos \frac{\pi }{4}\sin a$$$$\cos (\frac{\pi }{4}-a)=\cos \frac{\pi }{4}\cos a+\sin \frac{\pi }{4}\sin a$$

Числитель:

$$(\sin \frac{\pi }{4}\cos a-\cos \frac{\pi }{4}\sin a)+(\cos \frac{\pi }{4}\cos a+\sin \frac{\pi }{4}\sin a)$$

Шаг 2. Раскроем скобки числителя:

$$\sin \frac{\pi }{4}\cos a-\cos \frac{\pi }{4}\sin a+\cos \frac{\pi }{4}\cos a+\sin \frac{\pi }{4}\sin a$$

Шаг 3. Для знаменателя:

$$\sin (\frac{\pi }{4}-a)-\cos (\frac{\pi }{4}-a)=(\sin \frac{\pi }{4}\cos a-\cos \frac{\pi }{4}\sin a)-(\cos \frac{\pi }{4}\cos a+\sin \frac{\pi }{4}\sin a)$$

Шаг 4. Раскроем скобки знаменателя:

$$\sin \frac{\pi }{4}\cos a-\cos \frac{\pi }{4}\sin a-\cos \frac{\pi }{4}\cos a-\sin \frac{\pi }{4}\sin a$$

Шаг 5. Подставим числовые значения $\sin \frac{\pi }{4}=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Числитель:

$$\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a=$$

$$=\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a+(-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a)$$

Шаг 6. Сложим подобные слагаемые:

$$(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a)+(-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a)=\sqrt{2}\cos a+0=\sqrt{2}\cos a$$

Шаг 7. Аналогично для знаменателя:

$$\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a=$$

$$=(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a)+(-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a)$$

Шаг 8. Сложим подобные слагаемые:

$$0-\sqrt{2}\sin a=-\sqrt{2}\sin a$$

Шаг 9. Выражение теперь:

$$\frac{\sqrt{2}\cos a}{-\sqrt{2}\sin a}=\frac{\cos a}{-\sin a}=-\frac{\cos a}{\sin a}=-\mathrm{ctg}a$$

Итог:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{\sin (\frac{\pi }{4}-a)+\cos (\frac{\pi }{4}-a)}{\sin (\frac{\pi }{4}-a)-\cos (\frac{\pi }{4}-a)}=-\mathrm{ctg}a}}$$