ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 544 Алимов — Подробные Ответы

Доказать тождество tga+tgb=sin(a+b)/cosacosb и вычислить:

1. tg 267 + tg 93;
2. tg 5пи/12 + tg 7пи/12.

Докажем тождество:

$$\tg a + \tg \beta = \frac{\sin a}{\cos a} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{\sin a \cdot \cos \beta + \sin \beta \cdot \cos a}{\cos a \cdot \cos \beta} = \frac{\sin (a + \beta)}{\cos a \cdot \cos \beta}.$$

Тождество доказано.

1. $$\tg 267^\circ + \tg 93^\circ = \frac{\sin (267^\circ + 93^\circ)}{\cos 267^\circ \cdot \cos 93^\circ} = \frac{\sin 360^\circ}{\cos 267^\circ \cdot \cos 93^\circ} = 0;$$
2. $$\tg \frac{5\pi}{12} + \tg \frac{7\pi}{12} = \frac{\sin \left( \frac{5\pi}{12} + \frac{7\pi}{12} \right)}{\cos \frac{5\pi}{12} \cdot \cos \frac{7\pi}{12}} = \frac{\sin \pi}{\cos \frac{5\pi}{12} \cdot \cos \frac{7\pi}{12}} = 0;$$

Дано тождество для тангенсов двух углов $a$ и $\beta$:

$$\tg a + \tg \beta = ?$$

Шаг 1. Напишем тангенс через синус и косинус:

$$\tg a = \frac{\sin a}{\cos a}, \quad \tg \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta}$$

Тогда сумма:

$$\tg a + \tg \beta = \frac{\sin a}{\cos a} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta}$$

Шаг 2. Приведём к общему знаменателю $\cos a \cdot \cos \beta$:

$$\tg a + \tg \beta = \frac{\sin a \cdot \cos \beta}{\cos a \cdot \cos \beta} + \frac{\sin \beta \cdot \cos a}{\cos a \cdot \cos \beta} = \frac{\sin a \cdot \cos \beta + \sin \beta \cdot \cos a}{\cos a \cdot \cos \beta}$$

Шаг 3. В числителе распознаём формулу синуса суммы углов:

$$\sin (a + \beta) = \sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta$$

Шаг 4. Подставляем в выражение:

$$\tg a + \tg \beta = \frac{\sin (a + \beta)}{\cos a \cdot \cos \beta}$$

Итог:
Доказано, что

$$\boxed{ \tg a + \tg \beta = \frac{\sin (a + \beta)}{\cos a \cdot \cos \beta} }$$

1) Конкретный пример с градусами:

$$\tg 267^\circ + \tg 93^\circ = ?$$

Шаг 1. Применяем доказанное тождество:

$$\tg 267^\circ + \tg 93^\circ = \frac{\sin (267^\circ + 93^\circ)}{\cos 267^\circ \cdot \cos 93^\circ}$$

Шаг 2. Суммируем углы в синусе:

$$267^\circ + 93^\circ = 360^\circ$$

Шаг 3. Синус полного оборота равен нулю:

$$\sin 360^\circ = 0$$

Шаг 4. Подставляем в выражение:

$$\tg 267^\circ + \tg 93^\circ = \frac{0}{\cos 267^\circ \cdot \cos 93^\circ} = 0$$

Ответ:

$$\boxed{0}$$

2) Конкретный пример с радианами:

$$\tg \frac{5\pi}{12} + \tg \frac{7\pi}{12} = ?$$

Шаг 1. Применяем доказанное тождество:

$$\tg \frac{5\pi}{12} + \tg \frac{7\pi}{12} = \frac{\sin \left(\frac{5\pi}{12} + \frac{7\pi}{12}\right)}{\cos \frac{5\pi}{12} \cdot \cos \frac{7\pi}{12}}$$

Шаг 2. Складываем углы в числителе:

$$\frac{5\pi}{12} + \frac{7\pi}{12} = \frac{12\pi}{12} = \pi$$

Шаг 3. Синус $\pi$ равен нулю:

$$\sin \pi = 0$$

Шаг 4. Подставляем:

$$\tg \frac{5\pi}{12} + \tg \frac{7\pi}{12} = \frac{0}{\cos \frac{5\pi}{12} \cdot \cos \frac{7\pi}{12}} = 0$$

Ответ:

$$\boxed{0}$$

Итог:

Доказано общее тождество для суммы тангенсов, а также показано на двух конкретных примерах, что сумма в указанных случаях равна нулю.

Если хочешь, могу расписать подробнее про свойства функций или объяснить, почему знаменатель не равен нулю в этих случаях.