ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 292 Алимов — Подробные Ответы

1. log13( корень 5 степени 169);
2. log11( корень 3 степени 121);
3. log1/3( корень 4 степени 243);
4. log2(1/корень 6 степени 128).

1. ${\log }_{13}\sqrt[5]{169}={\log }_{13}{169}^{\frac{1}{5}}=\frac{1}{5}{\log }_{13}169=\frac{1}{5}{\log }_{13}{13}^2=\frac{1}{5}\cdot 2=0,4$
2. ${\log }_{11}\sqrt[3]{121}={\log }_{11}{121}^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}{\log }_{11}121=\frac{1}{3}{\log }_{11}{11}^2=\frac{1}{3}\cdot 2=\frac{2}{3}$
3. ${\log }_{\frac{1}{3}}\sqrt[4]{243}={\log }_{\frac{1}{3}}{243}^{\frac{1}{4}}=\frac{1}{4}{\log }_{\frac{1}{3}}243=\frac{1}{4}{\log }_{\frac{1}{3}}{3}^5=\frac{1}{4}{\log }_{\frac{1}{3}}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-5}=\frac{1}{4}\cdot (-5)=-1,25$
4. ${\log }_2\frac{1}{\sqrt[6]{128}}={\log }_2\frac{1}{{128}^{\frac{1}{6}}}={\log }_2{128}^{-\frac{1}{6}}=-\frac{1}{6}{\log }_{2}128=-\frac{1}{6}{\log }_2{2}^7=-\frac{1}{6}\cdot 7=-1\frac{1}{6}$

1) ${\log }_{13}\sqrt[5]{169}$

Дано: ${\log }_{13}\sqrt[5]{169}$

Шаг 1. Перепишем корень через степень с дробным показателем:

$$\sqrt[5]{169}={169}^{\frac{1}{5}}$$

Тогда выражение становится:

$${\log }_{13}{169}^{\frac{1}{5}}$$

Шаг 2. Применяем логарифмическое свойство: ${\log }_a{b}^c=c{\log }_{a}b$

$${\log }_{13}{169}^{\frac{1}{5}}=\frac{1}{5}{\log }_{13}169$$

Шаг 3. Представим число 169 как степень основания логарифма:

$$169={13}^2$$

Шаг 4. Подставим:

$$\frac{1}{5}{\log }_{13}{13}^2$$

Шаг 5. Логарифм числа, равного основанию в степени, равен показателю степени:

$${\log }_a{a}^k=k$$

Значит:

$${\log }_{13}{13}^2=2$$

Шаг 6. Умножаем:

$$\frac{1}{5}\cdot 2=\frac{2}{5}=\mathrm{0,4}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \mathrm{0,4}}}$$

2) ${\log }_{11}\sqrt[3]{121}$

Дано: ${\log }_{11}\sqrt[3]{121}$

Шаг 1. Записываем корень через степень:

$$\sqrt[3]{121}={121}^{\frac{1}{3}}$$

Шаг 2. Используем логарифмическое свойство степени:

$${\log }_{11}{121}^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}{\log }_{11}121$$

Шаг 3. Представляем 121 как степень основания:

$$121={11}^2$$

Шаг 4. Подставляем:

$$\frac{1}{3}{\log }_{11}{11}^2$$

Шаг 5. Применяем свойство логарифма:

$${\log }_{11}{11}^2=2$$

Шаг 6. Вычисляем:

$$\frac{1}{3}\cdot 2=\frac{2}{3}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{2}{3}}}$$

3) ${\log }_{\frac{1}{3}}\sqrt[4]{243}$

Дано: ${\log }_{\frac{1}{3}}\sqrt[4]{243}$

Шаг 1. Переписываем корень через степень:

$$\sqrt[4]{243}={243}^{\frac{1}{4}}$$

Шаг 2. Логарифмическое свойство:

$${\log }_{\frac{1}{3}}{243}^{\frac{1}{4}}=\frac{1}{4}{\log }_{\frac{1}{3}}243$$

Шаг 3. Представим 243 через степень числа 3:

$$243=3^5$$

Шаг 4. Подставляем:

$$\frac{1}{4}{\log }_{\frac{1}{3}}{3}^5$$

Шаг 5. Нужно выразить $3^5$ через основание логарифма $\frac{1}{3}$.

Обратите внимание, что:

$$\frac{1}{3}=3^{-1}$$

Тогда:

$$3={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}$$

Шаг 6. Подставим в степень:

$$3^5={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-5}$$

Шаг 7. Тогда:

$$\frac{1}{4}{\log }_{\frac{1}{3}}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-5}$$

Шаг 8. По свойству логарифма степени:

$${\log }_a{a}^k=k$$

Следовательно:

$${\log }_{\frac{1}{3}}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-5}=-5$$

Шаг 9. Вычисляем:

$$\frac{1}{4}\cdot (-5)=-\frac{5}{4}=-\mathrm{1,25}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle -\mathrm{1,25}}}$$

4) ${\log }_2\frac{1}{\sqrt[6]{128}}$

Дано: ${\log }_2\frac{1}{\sqrt[6]{128}}$

Шаг 1. Перепишем корень через степень:

$$\sqrt[6]{128}={128}^{\frac{1}{6}}$$

Шаг 2. В знаменателе дробь, значит:

$$\frac{1}{\sqrt[6]{128}}=\frac{1}{{128}^{\frac{1}{6}}}={128}^{-\frac{1}{6}}$$

Шаг 3. Запишем логарифм:

$${\log }_2{128}^{-\frac{1}{6}}$$

Шаг 4. Используем логарифмическое свойство:

$${\log }_2{128}^{-\frac{1}{6}}=-\frac{1}{6}{\log }_{2}128$$

Шаг 5. Представляем 128 как степень двойки:

$$128=2^7$$

Шаг 6. Подставляем:

$$-\frac{1}{6}{\log }_2{2}^7$$

Шаг 7. Применяем свойство логарифма:

$${\log }_2{2}^7=7$$

Шаг 8. Вычисляем:

$$-\frac{1}{6}\cdot 7=-\frac{7}{6}=-1\frac{1}{6}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle -1\frac{1}{6}}}$$