ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 427 Алимов — Подробные Ответы

Найти координаты точки, полученной поворотом точки Р (1; 0) на угол (k — целое число):

1. -3пи/2 + 2пиk;
2. 5пи/2+2пиk;
3. 7пи/2+2пиk;
4. -9пи/2+2пиk.

Найти координаты точки единичной окружности, полученной поворотом точки $P(1; 0)$ на угол $(k — \text{целое число})$:

1.

$$a = -\frac{3\pi}{2} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} — 2\pi + 2\pi k = \frac{\pi}{2} — 2\pi(k-1);$$

Точка повернется на угол $\frac{\pi}{2}$ против часовой стрелки;
Ответ: $(0; 1).$

2.

$$a = \frac{5\pi}{2} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi(k+1);$$

Точка повернется на угол $\frac{\pi}{2}$ против часовой стрелки;
Ответ: $(0; 1).$

3.

$$a = \frac{7\pi}{2} + 2\pi k = -\frac{\pi}{2} + 4\pi + 2\pi k = -\frac{\pi}{2} + 2\pi(k+2);$$

Точка повернется на угол $\frac{\pi}{2}$ по часовой стрелке;
Ответ: $(0; -1).$

4.

$$a = -\frac{9\pi}{2} + 2\pi k = -\frac{\pi}{2} — 4\pi + 2\pi k = -\frac{\pi}{2} + 2\pi(k-2);$$

Точка повернется на угол $\frac{\pi}{2}$ по часовой стрелке;
Ответ: $(0;-1)\mathrm{.}$

Задача:

Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки $P(1; 0)$ на угол $a$, где

$$a = \text{угол вида } \alpha + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Введение:

• Точка $P(1; 0)$ лежит на единичной окружности при угле $0$ радиан (0°).
• Поворот точки на угол $a$ против часовой стрелки переводит её в новую точку $P’$ с координатами

$$P’ = (\cos a; \sin a)$$

• Угол $a$ может быть выражен в форме $\alpha + 2\pi k$, где $\alpha$ — угловое значение в диапазоне $-\pi < \alpha \le \pi$ (или $0 \le \alpha < 2\pi$), а $k$ — целое число, обозначающее количество полных оборотов.
• Поскольку полный оборот равен $2\pi$, то $\cos(a) = \cos(\alpha)$, $\sin(a) = \sin(\alpha)$. Значит достаточно найти эквивалентный угол $\alpha$ в базовом диапазоне.

Разберем каждый из углов $a$ подробно:

1)

$$a = -\frac{3\pi}{2} + 2\pi k$$

Шаг 1: Упростим угол, сводя к базовому виду

$$a = -\frac{3\pi}{2} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} — 2\pi + 2\pi k = \frac{\pi}{2} — 2\pi (k — 1)$$

Объяснение:

• $-\frac{3\pi}{2} = \frac{\pi}{2} — 2\pi$, так как

$$-\frac{3\pi}{2} = -\pi — \frac{\pi}{2} = \left(-2\pi + \frac{\pi}{2}\right)$$

Шаг 2: Свойство периодичности

• Поскольку $a = \frac{\pi}{2} — 2\pi (k — 1)$, а $2\pi$ — полный оборот, то для любого $k$ угол $a$ эквивалентен углу

$$a_0 = \frac{\pi}{2}$$

Шаг 3: Интерпретация угла

• Угол $\frac{\pi}{2}$ — это поворот на 90° против часовой стрелки.
• Точка $P$ при таком повороте займет положение

$$P’ = \left(\cos \frac{\pi}{2}, \sin \frac{\pi}{2}\right) = (0, 1)$$

Ответ:

Точка повернется на угол $\frac{\pi}{2}$ против часовой стрелки;

$$\boxed{(0; 1)}$$

2)

$$a = \frac{5\pi}{2} + 2\pi k$$

Шаг 1: Упростим угол

$$a = \frac{5\pi}{2} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi(k + 1)$$

Объяснение:

• $\frac{5\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi$

Шаг 2: Свойство периодичности

• Для любого $k$ угол $a$ эквивалентен

$$a_0 = \frac{\pi}{2}$$

Шаг 3: Интерпретация угла

• Угол $\frac{\pi}{2}$ — это поворот на 90° против часовой стрелки.
• Координаты точки после поворота:

$$P’ = (0; 1)$$

Ответ:

Точка повернется на угол $\frac{\pi}{2}$ против часовой стрелки;

$$\boxed{(0; 1)}$$

3)

$$a = \frac{7\pi}{2} + 2\pi k$$

Шаг 1: Упростим угол

$$a = \frac{7\pi}{2} + 2\pi k = -\frac{\pi}{2} + 4\pi + 2\pi k = -\frac{\pi}{2} + 2\pi(k + 2)$$

Объяснение:

• $\frac{7\pi}{2} = \frac{3\pi}{2} + 2\pi = -\frac{\pi}{2} + 4\pi$, поскольку $\frac{3\pi}{2} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi$
• Более подробно:

$$\frac{7\pi}{2} = 3\pi + \frac{\pi}{2} = \text{развернем } 3\pi = 2\pi + \pi$$

Но проще использовать эквивалентность:

$$\frac{7\pi}{2} — 4\pi = \frac{7\pi}{2} — \frac{8\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}$$

Шаг 2: Свойство периодичности

• Поскольку $a = -\frac{\pi}{2} + 2\pi(k+2)$, угол $a$ эквивалентен

$$a_0 = -\frac{\pi}{2}$$

Шаг 3: Интерпретация угла

• Угол $-\frac{\pi}{2}$ — это поворот на 90° по часовой стрелке.
• Координаты точки после поворота:

$$P’ = (\cos(-\frac{\pi}{2}), \sin(-\frac{\pi}{2})) = (0; -1)$$

Ответ:

Точка повернется на угол $\frac{\pi}{2}$ по часовой стрелке;

$$\boxed{(0; -1)}$$

4)

$$a = -\frac{9\pi}{2} + 2\pi k$$

Шаг 1: Упростим угол

$$a = -\frac{9\pi}{2} + 2\pi k = -\frac{\pi}{2} — 4\pi + 2\pi k = -\frac{\pi}{2} + 2\pi (k — 2)$$

Объяснение:

• $-\frac{9\pi}{2} = -\frac{\pi}{2} — 4\pi$, так как

$$-\frac{9\pi}{2} = -4\pi — \frac{\pi}{2}$$

Шаг 2: Свойство периодичности

• Поскольку $a = -\frac{\pi}{2} + 2\pi(k-2)$, угол $a$ эквивалентен

$$a_0 = -\frac{\pi}{2}$$

Шаг 3: Интерпретация угла

• Угол $-\frac{\pi}{2}$ — поворот на 90° по часовой стрелке.
• Координаты точки после поворота:

$$P’ = (0; -1)$$

Ответ:

Точка повернется на угол $\frac{\pi}{2}$ по часовой стрелке;

$$\boxed{(0; -1)}$$

Итоговая таблица результатов: