ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 140 Алимов — Подробные Ответы

Равносильны ли следующие неравенства:

1. 2x-1 > = 2 и 2(x-1) > =1;
2. (x-1)(x+2) < 0 и x2+x < 2;
3. ((x-2)(x+1) < 3x +3 и x-2 < 3;
4. x(x+3) > = 2x и x2(x+3) > =2×2?

1) $2x — 1 \geq 2$ и $2(x — 1) \geq 1$

Преобразуем второе неравенство:

$$2(x — 1) \geq 1;$$

$$2x — 2 \geq 1;$$

$$2x — 1 \geq 2.$$

Ответ: равносильны.

2) $(x — 1)(x + 2) < 0$ и $x^2 + x < 2$

Решим первое неравенство:

$$(x — 1)(x + 2) < 0;$$

$$(x + 2)(x — 1) < 0;$$

$$-2 < x < 1.$$

Решим второе неравенство:

$$x^2 + x < 2;$$

$$x^2 + x — 2 < 0;$$

$$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9;$$

$$x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;$$

$$(x + 2)(x — 1) < 0;$$

$$-2 < x < 1.$$

Ответ: равносильны.

3) $(x — 2)(x + 1) < 3x + 3$ и $x — 2 < 3$

Решим первое неравенство:

$$(x — 2)(x + 1) < 3x + 3;$$

$$x^2 + x — 2x — 2 — 3x — 3 < 0;$$

$$x^2 — 4x — 5 < 0;$$

$$D = 4^2 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36;$$

$$x_1 = \frac{4 — 6}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5;$$

$$(x + 1)(x — 5) < 0;$$

$$-1 < x < 5.$$

Решим второе неравенство:

$$x — 2 < 3;$$

$$x < 3 + 2;$$

$$x < 5.$$

Ответ: не равносильны.

4) $x(x + 3) \geq 2x$ и $x^2(x + 3) \geq 2x^2$

Решим первое неравенство:

$$x(x + 3) \geq 2x;$$

$$x^2 + 3x — 2x \geq 0;$$

$$x^2 + x \geq 0;$$

$$(x + 1) \cdot x \geq 0;$$

$$x \leq -1 \quad \text{и} \quad x \geq 0.$$

Решим второе неравенство:

$$x^2(x + 3) \geq 2x^2;$$

$$x^2 \cdot (x + 3) — x^2 \cdot 2 \geq 0;$$

$$x^2 \cdot (x + 3 — 2) \geq 0;$$

$$x^2 \cdot (x + 1) \geq 0;$$

$$x = 0 \quad \text{и} \quad x \geq -1.$$

Ответ: не равносильны.

1) $2x — 1 \geq 2$ и $2(x — 1) \geq 1$

Решим первое неравенство $2x — 1 \geq 2$:

$$2x — 1 \geq 2$$

Прибавим 1 к обеим частям неравенства:

$$2x \geq 3$$

Теперь разделим обе части на 2:

$$x \geq \frac{3}{2}$$

Решение первого неравенства: $x \geq \frac{3}{2}$

Решим второе неравенство $2(x — 1) \geq 1$:

$$2(x — 1) \geq 1$$

Распределим 2 по скобкам:

$$2x — 2 \geq 1$$

Теперь прибавим 2 к обеим частям неравенства:

$$2x \geq 3$$

Поделим обе части на 2:

$$x \geq \frac{3}{2}$$

Решение второго неравенства: $x \geq \frac{3}{2}$

Ответ: оба неравенства имеют одинаковое решение, то есть они равносильны.

2) $(x — 1)(x + 2) < 0$ и $x^2 + x < 2$

Решим первое неравенство $(x — 1)(x + 2) < 0$:

Для того чтобы решить это неравенство, нам нужно найти, когда произведение двух выражений отрицательно. Для этого находим нули множителей:

$$x — 1 = 0 \quad \text{и} \quad x + 2 = 0$$

Получаем:

$$x = 1 \quad \text{и} \quad x = -2$$

Это делит числовую ось на три интервала: $(-\infty, -2)$, $(-2, 1)$ и $(1, \infty)$. Проверим знак произведения на каждом из этих интервалов:

• Для $x\in (-\mathrm{\infty },-2)$, например, $x = -3$:

$$(x — 1)(x + 2) = (-3 — 1)(-3 + 2) = (-4)(-1) = 4 > 0$$

• Для $x\in (-2,1)$, например, $x = 0$:

$$(x — 1)(x + 2) = (0 — 1)(0 + 2) = (-1)(2) = -2 < 0$$

• Для $x\in (1,\mathrm{\infty })$, например, $x = 2$:

$$(x — 1)(x + 2) = (2 — 1)(2 + 2) = (1)(4) = 4 > 0$$

Таким образом, неравенство выполняется на интервале $(-2, 1)$

Решение первого неравенства: $-2 < x < 1$

Решим второе неравенство $x^2 + x < 2$:

Переносим 2 влево:

$$x^2 + x — 2 < 0$$

Решаем квадратное неравенство. Для этого найдем корни квадратного уравнения:

$$x^2 + x — 2 = 0$$

Дискриминант:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$$

Теперь раскладываем многочлен на множители:

$$(x + 2)(x — 1) < 0$$

Определим, при каких значениях $x$ произведение двух выражений отрицательно:

• Для $x\in (-\mathrm{\infty },-2)$, например, $x = -3$:

$$(x + 2)(x — 1) = (-3 + 2)(-3 — 1) = (-1)(-4) = 4 > 0$$

• Для $x\in (-2,1)$, например, $x = 0$:

$$(x + 2)(x — 1) = (0 + 2)(0 — 1) = (2)(-1) = -2 < 0$$

• Для $x\in (1,\mathrm{\infty })$, например, $x = 2$:

$$(x + 2)(x — 1) = (2 + 2)(2 — 1) = (4)(1) = 4 > 0$$

Неравенство выполняется на интервале $(-2, 1)$

Решение второго неравенства: $-2 < x < 1$

Ответ: оба неравенства имеют одинаковое решение, то есть они равносильны.

3) $(x — 2)(x + 1) < 3x + 3$ и $x — 2 < 3$

Решим первое неравенство $(x — 2)(x + 1) < 3x + 3$:

Раскроем скобки:

$$x^2 + x — 2x — 2 < 3x + 3$$

Упростим:

$$x^2 — x — 2 < 3x + 3$$

Переносим все на одну сторону:

$$x^2 — x — 2 — 3x — 3 < 0$$

$$x^2 — 4x — 5 < 0$$

Решаем квадратное неравенство. Находим дискриминант:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-4) — \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 — 6}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 6}{2} = 5$$

Таким образом, неравенство $x^2 — 4x — 5 < 0$ имеет решение $-1 < x < 5$.

Решим второе неравенство $x — 2 < 3$:

Прибавим 2 к обеим частям неравенства:

$$x < 5$$

Решение второго неравенства: $x < 5$

Ответ: неравенства не равносильны, так как решение первого неравенства $-1 < x < 5$ более ограничено, чем решение второго $x < 5$

4) $x(x + 3) \geq 2x$ и $x^2(x + 3) \geq 2x^2$

Решим первое неравенство $x(x + 3) \geq 2x$:

Распишем:

$$x^2 + 3x \geq 2x$$

Переносим все на одну сторону:

$$x^2 + 3x — 2x \geq 0$$

Упростим:

$$x^2 + x \geq 0$$

Разложим на множители:

$$x(x + 1) \geq 0$$

Решение этого неравенства: $x \leq -1$ или $x \geq 0$

Решим второе неравенство $x^2(x + 3) \geq 2x^2$:

Распишем:

$$x^2(x + 3) — 2x^2 \geq 0$$

Вынесем $x^2$ за скобки:

$$x^2(x + 3 — 2) \geq 0$$

Упростим:

$$x^2(x + 1) \geq 0$$

Решение этого неравенства: $x = 0$ или $x \geq -1$

Ответ: неравенства не равносильны, так как решение первого неравенства включает интервал $x \leq -1$ или $x \geq 0$, а решение второго — только $x = 0$ или $x \geq -1$